Бесконечно малая функция определение. Определение бесконечно большой функции. Теормема о замене б.м. функций эквивалентными
Функция
называется
бесконечно малой при
или при
,
если
или
.
Например:
функция
бесконечно малая при
;
функция
бесконечно малая при
.
Замечание
1.
Никакую
функцию без указания направления
изменения аргумента бесконечно малой
назвать нельзя. Так, функция
при
является бесконечно малой, а при
она уже не является бесконечно малой
(
).
Замечание
2.
Из
определения предела функции в точке,
для бесконечно малых функций выполняется
неравенство
.Этим
фактом мы в дальнейшем будем неоднократно
пользоваться.
Установим некоторые важные свойства бесконечно малых функций.
Теорема
(о связи
функции, её предела и бесконечно малой):
Если функция
может быть представлена в виде суммы
постоянного числаА
и бесконечно малой функции
при
,
то число
Доказательство:
Из
условия теоремы следует, что функция
.
Выразим
отсюда
:
.
Поскольку функция
бесконечно малая, для неё справедливо
неравенство
,
тогда для выражения (
)
также выполняется неравенство
А
это значит, что
.
Теорема
(обратная):
если
,
то функция
может быть представлена в виде суммы
числаА
и бесконечно малой при
функции
,
т.е.
.
Доказательство:
Так
как
,
то для
выполняется неравенство
(*) Рассмотрим функцию
как единую и неравенство (*) перепишем
в виде
Из
последнего неравенства следует, что
величина (
)
является бесконечно малой при
.
Обозначим её
.
Откуда
.
Теорема доказана.
Теорема 1 . Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Проведём доказательство для двух слагаемых, так как для любого конечного числа слагаемых оно приводится аналогично.
Пусть
и
бесконечно малые при
функции и
– сумма этих функций. Докажем, что для
,
существует такое
,
что для всехх
,
удовлетворяющих неравенству
,
выполняется неравенство
.
Так
как функция
бесконечно малая функция,
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Так
как функция
бесконечно малая функция,
,
а следовательно существует такое,
что для всех
выполняется неравенство
.
Возьмём
равным меньшему из чисели,
тогда в–окрестности
точкиа
будут выполняться неравенства
,
.
Составим
модуль функции
и оценим его значение.
То есть
,
тогда функция бесконечно малая,
что и требовалось доказать.
Теорема
2.
Произведение
бесконечно малой функции
при
на ограниченную функцию
есть бесконечно малая функция.
Доказательство:
Так
как функция
ограниченная, то существует такое
положительное число
,
что для всехвыполняется неравенство
.
Так
как функция
бесконечно малая при
,
то существует такая–окрестность
точки,
что для всехих этой окрестности выполняется
неравенство
.
Рассмотрим
функцию
и оценим её модуль
Итак
,
а тогда
– бесконечно малая.
Теорема доказана.
Теоремы о пределах.
Теорема 1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций
Доказательство:
Для доказательства достаточно рассмотреть две функции, это не нарушит общности рассуждений.
Пусть
,
.
По
теореме о связи функции, её предела и
бесконечно малой, функции
и
можно представить в виде
где
и
– бесконечно малые при
.
Найдём
сумму функций
и
Величина
есть постоянная величина,
– величина бесконечно малая. Таким
образом, функция
представлена в виде суммы постоянной
величины и бесконечно малой функции.
Тогда
число
является пределом функции
,
т.е.
Теорема доказана.
Теорема 2 . Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций
Доказательство:
Не
нарушая общности рассуждений, проведём
доказательство для двух функций
и
.
Пусть
,
тогда
,
Найдём
произведение функций
и
Величина
есть постоянная величина,бесконечно малая функция. Следовательно,
число
является пределом функции
,
то есть справедливо равенство
Следствие:
.
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля
.
Доказательство:
Пусть
,
Тогда
,
.
Найдём частное и проделаем над ним некоторые тождественные преобразования
Величина
постоянная, дробь
бесконечно малая. Следовательно, функцияпредставлена в виде суммы постоянного
числа и бесконечно малой функции.
Тогда
.
Замечание.
Теоремы 1–3 доказаны для случая
.
Однако, они могут быть применимы при
,
поскольку доказательство теорем в этом
случае проводится аналогично.
Например. Найти пределы:
Первый и второй замечательные пределы.
Функция
не определена при
.
Однако её значения в окрестности точки
нуль существуют. Поэтому можно
рассматривать предел этой функции при
.
Этот предел носит названиепервого
замечательного
предела
.
Он
имеет вид:
.
Например
.
Найти пределы: 1.
.
Обозначают
,
если
,
то
.
;
2.
.
Преобразуем данное выражение так, чтобы
предел свёлся к первому замечательному
пределу.
;
3..
Рассмотрим
переменную величину вида
,
в которойпринимает значения натуральных чисел
в порядке их возрастания. Дадимразличные значения: если
Давая
следующие значения из множества
,
нетрудно увидеть, что выражение
при
будет
.
Более того, доказывается, что
имеет предел. Этот предел обозначается
буквой:
.
Число
иррациональное:
.
Теперь
рассмотрим предел функции
при
.
Этот предел называетсявторым
замечательным пределом
Он
имеет вид
.
Например.
а)
.
Выражение
заменим произведениемодинаковых сомножителей
,
применим теорему о пределе произведения
и второй замечательный предел;
б)
.
Положим
,
тогда
,
.
Второй замечательный предел используется взадаче о непрерывном начислении процентов
При начислении денежных доходов по вкладам часто пользуются формулой сложных процентов, которая имеет вид:
,
где - первоначальный вклад,
- ежегодный банковский процент,
- число начислений процентов в год,
- время, в годах.
Однако, в теоретических исследованиях при обосновании инвестиционных решений чаще пользуются формулой экспоненциального (показательного) закона роста
.
Формула показательного закона роста получена как результат применения второго замечательного предела к формуле сложных процентов
Непрерывность функций.
Рассмотрим
функцию
определённую в некоторой точкеи некоторой окрестности точки.
Пусть в указанной точке функция имеет
значение
.
Определение
1. Функция
называется
непрерывной в точке
,
если она определена в окрестности точки, включая саму точку и
.
Определение непрерывности можно сформулировать иначе.
Пусть
функция
определена при некотором значении,
.
Если аргументудать приращение
,
то функция получит приращение
Пусть функция в точке непрерывна (по первому определению непрерывности функции в точке),
То
есть, если функция непрерывна в точке
,
то бесконечно малому приращению аргумента
в этой точке соответствует бесконечно
малое приращение функции.
Справедливо и обратное предложение: если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то функция непрерывна.
Определение
2. Функция
называется непрерывной при
(в точке),
если она определена в этой точке и
некоторой её окрестности и если
.
Учитывая первое и второе определение непрерывности функции в точке можно получить следующее утверждение:
или
,
но
,
тогда
.
Следовательно,
для того чтобы найти предел непрерывной
функции при
достаточно в аналитическое выражение
функции вместо аргументаподставить его значение.
Определение 3. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной в этой области.
Например:
Пример
1. Доказать, что функция
непрерывна во всех точках области
определения.
Воспользуемся
вторым определением непрерывности
функции в точке. Для этого возьмём любое
значение аргумента
и дадим ему приращение
.
Найдём соответствующее приращение
функции
Пример
2. Доказать, что функция
непрерывна во всех точкахиз
.
Дадим
аргументу
приращение
,
тогда функция получит приращение
Найдём
так как
функция
,
то есть ограничена.
Аналогично можно доказать, что все основные элементарные функции непрерывны во всех точках области их определения, то есть область определения элементарной функции совпадает с областью её непрерывности.
Определение
4. Если функция
непрерывна в каждой точке некоторого
интервала
,
то говорят, что функция непрерывна на
этом интервале.
БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Примеры.
Установим следующее важное соотношение:
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .
Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.
Доказательство .
Рассмотрим основные свойства бесконечно малых функций.
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Доказательство . Приведем доказательство для двух слагаемых. Пусть f(x)=α(x)+β(x) , где и . Нам нужно доказать, что при произвольном как угодно малом ε> 0 найдется δ> 0, такое, что для x , удовлетворяющих неравенству |x – a|<δ , выполняется |f(x)|< ε.
Итак, зафиксируем произвольное число ε> 0. Так как по условию теоремы α(x) – бесконечно малая функция, то найдется такое δ 1 > 0, что при |x – a|< δ 1 имеем |α(x)|< ε/ 2. Аналогично, так как β(x) – бесконечно малая, то найдется такое δ 2 > 0, что при |x – a|< δ 2 имеем | β(x)|< ε/ 2.
Возьмем δ=min{ δ 1 , δ 2 } .Тогда в окрестности точки a радиуса δ будет выполняться каждое из неравенств |α(x)|< ε/ 2 и | β(x)|< ε/ 2. Следовательно, в этой окрестности будет
|f(x)|=| α(x)+β(x) | ≤ |α(x)| + | β(x)| < ε/2 + ε/2= ε,
т.е. |f(x)|< ε, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞ ) есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Так как функция f(x) ограничена, то существует число М такое, что при всех значениях x из некоторой окрестности точки a|f(x)|≤M. Кроме того, так как a(x) – бесконечно малая функция при x→a , то для произвольного ε> 0 найдется окрестность точки a , в которой будет выполняться неравенство |α(x)|< ε/M . Тогда в меньшей из этих окрестностей имеем | αf|< ε/M = ε. А это и значит, что af – бесконечно малая. Для случая x→∞ доказательство проводится аналогично.
Из доказанной теоремы вытекают:
Следствие 1. Если и , то .
Следствие 2. Если и c= const, то .
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x) , предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Доказательство . Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.
СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ
Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a .
Доказательство. Возьмем произвольное число ε>0 и покажем, что при некотором δ>0 (зависящим от ε) при всех x , для которых |x – a|<δ , выполняется неравенство , а это и будет означать, что 1/f(x) – бесконечно малая функция. Действительно, так как f(x) – бесконечно большая функция при x→a , то найдется δ>0 такое, что как только |x – a|<δ , так |f(x)|> 1/ ε. Но тогда для тех же x .
Примеры.
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 2. Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией.
Доказательство теоремы проведите самостоятельно.
Примеры.
Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0
ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛАХ
Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа функций равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е.
Доказательство . Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть .Тогда f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) , где α и β – бесконечно малые функции. Следовательно,
f(x) + g(x)=(b + c) + (α(x) + β(x)) .
Так как b + c есть постоянная величина, а α(x) + β(x) – функция бесконечно малая, то
Пример. .
Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций:
Доказательство . Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) и
fg = (b + α)(c + β) = bc + (bβ + cα + αβ).
Произведение bc есть величина постоянная. Функция bβ + c α + αβ на основании свойств бесконечно малых функций есть величина бесконечно малая. Поэтому .
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел степени равен степени предела:
.
Пример. .
Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, если предел знаменателя отличен от нуля, т.е.
.
Доказательство . Пусть . Следовательно, f(x)=b+α(x) и g(x)=c+β(x) , где α, β – бесконечно малые. Рассмотрим частное
Дробь является бесконечно малой функцией, так как числитель есть бесконечно малая функция, а знаменатель имеет предел c 2 ≠0.
Примеры.
Теорема 4. Пусть даны три функции f(x), u(x) и v(x) , удовлетворяющие неравенствам u(x)≤f(x)≤ v(x) . Если функции u(x) и v(x) имеют один и тот же предел при x→a (или x→∞ ), то и функция f(x) стремится к тому же пределу, т.е. если
, то .
Смысл этой теоремы понятен из рисунка.
Доказательство теоремы 4 можно найти, например, в учебнике: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления, т. 1 – М.: Наука, 1985.
Теорема 5. Если при x→a (или x→∞ ) функция y=f(x) принимает неотрицательные значения y≥0 и при этом стремится к пределу b , то этот предел не может быть отрицательным: b≥0 .
Доказательство . Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что b<0 , тогда |y – b|≥|b| и, следовательно, модуль разности не стремится к нулю при x→a . Но тогда y не стремится к пределу b при x→a , что противоречит условию теоремы.
Теорема 6. Если две функции f(x) и g(x) при всех значениях аргумента x удовлетворяют неравенству f(x)≥ g(x) и имеют пределы , то имеет место неравенство b≥c .
Доказательство. По условию теоремы f(x)-g(x) ≥0 , следовательно, по теореме 5 , или .
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ
До сих пор мы рассматривали определение предела функции, когда x→a произвольным образом, т.е. предел функции не зависел от того, как располагалось x по отношению к a , слева или справа от a . Однако, довольно часто можно встретить функции, которые не имеют предела при этом условии, но они имеют предел, если x→a , оставаясь с одной стороны от а , слева или справа (см. рис.). Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
Если f(x) стремится к пределу b при x стремящемся к некоторому числу a так, что x принимает только значения, меньшие a , то пишут и называют bпределом функции f(x) в точке a слева.
Бесконечно малые функции
Функцию %%f(x)%% называют бесконечно малой (б.м.) при %%x \to a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если при этом стремлении аргумента предел функции равен нулю.
Понятие б.м. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.м. функции при %%a \to a + 0%% и при %%a \to a - 0%%. Обычно б.м. функции обозначают первыми буквами греческого алфавита %%\alpha, \beta, \gamma, \ldots%%
Примеры
- Функция %%f(x) = x%% является б.м. при %%x \to 0%%, поскольку ее предел в точке %%a = 0%% равен нулю. Согласно теореме о связи двустороннего предела с односторонними эта функция — б.м. как при %%x \to +0%%, так и при %%x \to -0%%.
- Функция %%f(x) = 1/{x^2}%% — б.м. при %%x \to \infty%% (а также при %%x \to +\infty%% и при %%x \to -\infty%%).
Отличное от нуля постоянное число, сколь бы оно ни было мало по абсолютному значению, не является б.м. функцией. Для постоянных чисел исключение составляет лишь нуль, поскольку функция %%f(x) \equiv 0%% имеет нулевой предел.
Теорема
Функция %%f(x)%% имеет в точке %%a \in \overline{\mathbb{R}}%% расширенной числовой прямой конечный предел, равный числу %%b%%, тогда и только тогда, когда эта функция равна сумме этого числа %%b%% и б.м. функции %%\alpha(x)%% при %%x \to a%%, или $$ \exists~\lim\limits_{x \to a}{f(x)} = b \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left(f(x) = b + \alpha(x)\right) \land \left(\lim\limits_{x \to a}{\alpha(x) = 0}\right). $$
Свойства бесконечно малых функций
По правилам предельного перехода при %%c_k = 1~ \forall k = \overline{1, m}, m \in \mathbb{N}%%, следуют утверждения:
- Сумма конечного числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.
- Произведение любого числа б.м. функций при %%x \to a%% есть б.м. при %%x \to a%%.
Произведение б.м. функций при %%x \to a%% и функции, ограниченной в некоторой проколотой окрестности %%\stackrel{\circ}{\text{U}}(a)%% точки а, есть б.м. при %%x \to a%% функция.
Ясно, что произведение постоянной функции и б.м. при %%x \to a%% есть б.м. функция при %%x \to a%%.
Эквивалентные бесконечно малые функции
Бесконечно малые функции %%\alpha(x), \beta(x)%% при %%x \to a%% называются эквивалентными и пишутся %%\alpha(x) \sim \beta(x)%%, если
$$ \lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}} = \lim\limits_{x \to a}{\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}} = 1. $$
Теормема о замене б.м. функций эквивалентными
Пусть %%\alpha(x), \alpha_1(x), \beta(x), \beta_1(x)%% — б.м. функции при %%x \to a%%, причем %%\alpha(x) \sim \alpha_1(x); \beta(x) \sim \beta_1(x)%%, тогда $$ \lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}} = \lim\limits_{x \to a}{\frac{\alpha_1(x)}{\beta_1(x)}}. $$
Эквивалентные б.м. функции.
Пусть %%\alpha(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%, тогда
- %%\sin(\alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
- %%\displaystyle 1 - \cos(\alpha(x)) \sim \frac{\alpha^2(x)}{2}%%
- %%\tan \alpha(x) \sim \alpha(x)%%
- %%\arcsin\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
- %%\arctan\alpha(x) \sim \alpha(x)%%
- %%\ln(1 + \alpha(x)) \sim \alpha(x)%%
- %%\displaystyle\sqrt[n]{1 + \alpha(x)} - 1 \sim \frac{\alpha(x)}{n}%%
- %%\displaystyle a^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x) \ln(a)%%
Пример
$$ \begin{array}{ll} \lim\limits_{x \to 0}{ \frac{\ln\cos x}{\sqrt{1 + x^2} - 1}} & = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\ln(1 + (\cos x - 1))}{\frac{x^2}{4}}} = \\ & = \lim\limits_{x \to 0}{\frac{4(\cos x - 1)}{x^2}} = \\ & = \lim\limits_{x \to 0}{-\frac{4 x^2}{2 x^2}} = -2 \end{array} $$
Бесконечно большие функции
Функцию %%f(x)%% называют бесконечно большой (б.б.) при %%x \to a \in \overline{\mathbb{R}}%%, если при этом стремлении аргумента функция имеет бесконечный предел.
Подобно б.м. функциям понятие б.б. функции неразрывно связано с указанием об изменении ее аргумента. Можно говорить о б.б. функции при %%x \to a + 0%% и %%x \to a - 0%%. Термин “бесконечно большая” говорит не об абсолютном значении функции, а о характере его изменения в окрестности рассматриваемой точки. Никакое постоянное число, как бы велико оно ни было по абсолютному значению, не является бесконечно большим.
Примеры
- Функция %%f(x) = 1/x%% — б.б. при %%x \to 0%%.
- Функция %%f(x) = x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.
Если выполнены условия определений $$ \begin{array}{l} \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = +\infty, \\ \lim\limits_{x \to a}{f(x)} = -\infty, \end{array} $$
то говорят о положительной или отрицательной б.б. при %%a%% функции.
Пример
Функция %%1/{x^2}%% — положительная б.б. при %%x \to 0%%.
Связь между б.б. и б.м. функциями
Если %%f(x)%% — б.б. при %%x \to a%% функция, то %%1/f(x)%% — б.м.
при %%x \to a%%. Если %%\alpha(x)%% — б.м. при %%x \to a%% функция, отличная от нуля в некоторой проколотой окрестности точки %%a%%, то %%1/\alpha(x)%% — б.б. при %%x \to a%%.
Свойства бесконечно больших функций
Приведем несколько свойств б.б. функций. Эти свойства непосредственно следуют из определения б.б. функции и свойств функций, имеющих конечные пределы, а также из теоремы о связи между б.б. и б.м. функциями.
- Произведение конечного числа б.б. функций при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%. Действительно, если %%f_k(x), k = \overline{1, n}%% — б.б. функции при %%x \to a%%, то в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% %%f_k(x) \ne 0%%, и по теореме о связи б.б. и б.м. функций %%1/f_k(x)%% — б.м. функция при %%x \to a%%. Получается %%\displaystyle\prod^{n}_{k = 1} 1/f_k(x)%% — б.м функция при %%x \to a%%, а %%\displaystyle\prod^{n}_{k = 1}f_k(x)%% — б.б. функция при %%x \to a%%.
- Произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, которая в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% по абсолютному значению больше положительной постоянной, есть б.б. функция при %%x \to a%%. В частности, произведение б.б. функции при %%x \to a%% и функции, имеющей в точке %%a%% конечный ненулевой предел, будет б.б. функцией при %%x \to a%%.
Сумма двух б.б. функций при %%x \to a%% есть неопределенность. В зависимости от знака слагаемых характер изменения такой суммы может быть самым различным.
Пример
Пусть даны функции %%f(x)= x, g(x) = 2x, h(x) = -x, v(x) = x + \sin x%% — б.б. функции при %%x \to \infty%%. Тогда:
- %%f(x) + g(x) = 3x%% — б.б. функция при %%x \to \infty%%;
- %%f(x) + h(x) = 0%% — б.м. функция при %%x \to \infty%%;
- %%h(x) + v(x) = \sin x%% не имет предела при %%x \to \infty%%.
Сумма ограниченной в некоторой проколотой окрестности точки %%a%% функции и б.б. функции при %%x \to a%% есть б.б. функция при %%x \to a%%.
Например, функции %%x - \sin x%% и %%x + \cos x%% — б.б. при %%x \to \infty%%.
Определения и свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций в точке. Доказательства свойств и теорем. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.
СодержаниеСм. также:
Бесконечно малые последовательности - определение и свойства
Свойства бесконечно больших последовательностей
Определение бесконечно малой и бесконечно большой функции
Пусть x 0 есть конечная или бесконечно удаленная точка: ∞ , -∞ или +∞ .
Определение бесконечно малой функции
Функция α(x)
называется бесконечно малой
при x
стремящемся к x 0
0
,
и он равен нулю:
.
Определение бесконечно большой функции
Функция f(x)
называется бесконечно большой
при x
стремящемся к x 0
,
если функция имеет предел при x → x 0
,
и он равен бесконечности:
.
Свойства бесконечно малых функций
Свойство суммы, разности и произведения бесконечно малых функций
Сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x 0 является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Это свойство является прямым следствием арифметических свойств пределов функции .
Теорема о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Произведение функции, ограниченной на некоторой проколотой окрестности точки x 0 , на бесконечно малую, при x → x 0 , является бесконечно малой функцией при x → x 0 .
Свойство о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Для того, чтобы функция f(x)
имела конечный предел ,
необходимо и достаточно, чтобы
,
где - бесконечно малая функция при x → x 0
.
Свойства бесконечно больших функций
Теорема о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Сумма или разность ограниченной функции, на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
и бесконечно большой функции, при x → x 0
,
является бесконечно большой функцией при x → x 0
.
Теорема о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Если функция f(x)
является бесконечно большой при x → x 0
,
а функция g(x)
- ограничена на некоторой проколотой окрестности точки x 0
,
то
.
Теорема о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Если функция ,
на некоторой проколотой окрестности точки ,
по абсолютной величине ограничена снизу положительным числом:
,
а функция является бесконечно малой при x → x 0
:
,
и существует проколотая окрестность точки ,
на которой ,
то
.
Свойство неравенств бесконечно больших функций
Если функция является бесконечно большой при :
,
и функции и ,
на некоторой проколотой окрестности точки удовлетворяют неравенству:
,
то функция также бесконечно большая при :
.
Это свойство имеет два частных случая.
Пусть, на некоторой проколотой окрестности точки ,
функции и удовлетворяют неравенству:
.
Тогда если ,
то и .
Если ,
то и .
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями
Из двух предыдущих свойств вытекает связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.
Если функция является бесконечно большой при , то функция является бесконечно малой при .
Если функция являются бесконечно малой при , и , то функция является бесконечно большой при .
Связь между бесконечно малой и бесконечно большой функцией можно выразить символическим образом:
,
.
Если бесконечно малая функция имеет определенный знак при ,
то есть положительна (или отрицательна) на некоторой проколотой окрестности точки ,
то можно записать так:
.
Точно также если бесконечно большая функция имеет определенный знак при ,
то пишут:
,
или .
Тогда символическую связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями можно дополнить следующими соотношениями:
,
,
,
.
Дополнительные формулы, связывающие символы бесконечности, можно найти на странице
«Бесконечно удаленные точки и их свойства ».
Доказательство свойств и теорем
Доказательство теоремы о произведении ограниченной функции на бесконечно малую
Для доказательства этой теоремы, мы воспользуемся . А также используем свойство бесконечно малых последовательностей, согласно которому
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой определена функция . Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
.
,
a последовательность является бесконечно малой:
.
Воспользуемся тем, что произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность:
.
.
Теорема доказана.
Доказательство свойства о представлении функции в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции
Необходимость
. Пусть функция имеет в точке конечный предел
.
Рассмотрим функцию:
.
Используя свойство предела разности функций , имеем:
.
То есть есть бесконечно малая функция при .
Достаточность
. Пусть и .
Применим свойство предела суммы функций :
.
Свойство доказано.
Доказательство теоремы о сумме ограниченной функции и бесконечно большой
Для доказательства теоремы, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне
при .
Поскольку существует предел , то существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена. Пусть есть пересечение окрестностей и . Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой:
.
Поскольку сумма или разность ограниченной последовательности и бесконечно большой
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной функции на бесконечно большую
Для доказательства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно малой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно большой при ,
а функция ограничена в некоторой проколотой окрестности точки :
при .
Поскольку функция бесконечно большая, то существует проколотая окрестность точки ,
на которой она определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной:
,
a последовательность является бесконечно большой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной последовательности на бесконечно большую является бесконечно малой последовательностью, то
.
Тогда, согласно определению предела последовательности по Гейне,
.
Теорема доказана.
Доказательство теоремы о частном от деления ограниченной снизу функции на бесконечно малую
Для доказательства этого свойства, мы воспользуемся определением предела функции по Гейне . Также используем свойство бесконечно больших последовательностей, согласно которому является бесконечно большой последовательностью.
Пусть функция является бесконечно малой при ,
а функция ограничена по абсолютной величине снизу положительным числом, на некоторой проколотой окрестности точки :
при .
По условию существует проколотая окрестность точки ,
на которой функция определена и не обращается в нуль:
при .
Пусть есть пересечение окрестностей и .
Тогда на ней определены функции и .
Причем и .
Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к ,
элементы которой принадлежат окрестности :
.
Тогда определены последовательности и .
Причем последовательность является ограниченной снизу:
,
а последовательность является бесконечно малой с отличными от нуля членами:
,
.
Поскольку частное от деления ограниченной снизу последовательности на бесконечно малую является бесконечно большой последовательностью, то
.
И пусть имеется проколотая окрестность точки ,
на которой
при .
Возьмем произвольную последовательность ,
сходящуюся к .
Тогда, начиная с некоторого номера N
,
элементы последовательности будут принадлежать этой окрестности:
при .
Тогда
при .
Согласно определению предела функции по Гейне,
.
Тогда по свойству неравенств бесконечно больших последовательностей,
.
Поскольку последовательность произвольная, сходящаяся к ,
то по определению предела функции по Гейне,
.
Свойство доказано.
Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.