Производные обратных тригонометрических функций примеры. Вывод производных обратных тригонометрических функций. Производные тригонометрических функций
Представлены производные обратных тригонометрических функций и вывод их формул. Также даны выражения производных высших порядков. Ссылки на страницы с более подробным изложением вывода формул.
СодержаниеСм. также: Обратные тригонометрические функции, их графики и формулы
Сначала выведем формулу производной арксинуса. Пусть
y = arcsin
x
.
Поскольку арксинус есть функция, обратная к синусу, то
.
Здесь y
- функция от x
.
Дифференцируем по переменной x
:
.
Применяем :
.
Итак, мы нашли:
.
Поскольку ,
то .
Тогда
.
И предыдущая формула принимает вид:
.
Отсюда
.
Точно таким способом можно получить формулу производной арккосинуса. Однако проще воспользоваться формулой, связывающей обратные тригонометрические функции :
.
Тогда
.
Более подробно изложение представлено на странице “Вывод производных арксинуса и арккосинуса ”. Там дается вывод производных двумя способами - рассмотренным выше и по формуле производной обратной функции.
Вывод производных арктангенса и арккотангенса
Таким же способом найдем производные арктангенса и арккотангенса.
Пусть
y = arctg
x
.
Арктангенс есть функция, обратная к тангенсу:
.
Дифференцируем по переменной x
:
.
Применяем формулу производной сложной функции :
.
Итак, мы нашли:
.
Производная арккотангенса:
.
Производные арксинуса
Пусть
.
Производную первого порядка от арксинуса мы уже нашли:
.
Дифференцируя, находим производную второго порядка:
;
.
Ее также можно записать в следующем виде:
.
Отсюда получаем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют производные арксинуса первого и второго порядков:
.
Дифференцируя это уравнение, можно найти производные высших порядков.
Производная арксинуса n-го порядка
Производная арксинуса n-го порядка имеет следующий вид:
,
где - многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;
.
Здесь .
Многочлен удовлетворяет дифференциальному уравнению:
.
Производная арккосинуса n-го порядка
Производные для арккосинуса получаются из производных для арксинуса с помощью тригонометрической формулы:
.
Поэтому производные этих функций отличаются только знаком:
.
Производные арктангенса
Пусть .
Мы нашли производную арккотангенса первого порядка:
.
Разложим дробь на простейшие:
.
Здесь - мнимая единица, .
Дифференцируем раз и приводим дробь к общему знаменателю:
.
Подставляя ,
получим:
.
Производная арктангенса n-го порядка
Таким образом, производную арктангенса n-го порядка можно представить несколькими способами:
;
.
Производные арккотангенса
Пусть теперь .
Применим формулу, связывающей обратные тригонометрические функции:
.
Тогда производная n-го порядка от арккотангенса отличаются только знаком от производной арктангенса:
.
Подставив ,
найдем:
.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Для нахождения производной тригонометрической функции нужно пользоваться таблицей производных , а именно производными 6-13.
При нахождении производных простых тригонометрических функций во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:
- в выражении функции часто одно из слагаемых представляет собой синус, косинус или другую тригонометрическую функцию не от аргумента функции, а от числа (константы), поэтому производная этого слагаемого равна нулю;
- почти всегда нужно упростить выражение, полученное в результате дифференцирования, а для этого нужно уверенно пользоваться знаниями по действиям с дробями;
- для упрощения выражения почти всегда нужно знать тригонометрические тождества, например, формулу двойного угла и формулу единицы как сумму квадратов синуса и косинуса .
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Допустим, с производной косинуса всё понятно, скажут многие, начинающие изучать производные. А как быть с производной синуса двенадцати, делённых на пи? Ответ: считать равной нулю! Здесь синус (функция всё-таки!) - ловушка, потому что аргумент - не переменная икс или любая другая переменная, а просто число. То есть, синус этого числа - тоже число. А производная числа (константы), как мы знаем из таблицы производных, равна нулю. Итак, оставляем только минус синус икса и находим его производную, не забывая про знак:
.
Пример 2. Найти производную функции
.
Решение. Второе слагаемое - тот же случай, что и первое слагаемое в предыдущем примере. То есть, число, а производная числа равна нулю. Находим производную второго слагаемого как производную частного:
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Это уже другая задача: здесь в первом слагаемом нет ни арксинуса, ни другой тригонометической функции, но есть икс, а значит, это функция от икса. Следовательно, дифференцируем её как слагаемое в сумме функций:
Здесь потребовались навыки в действиях с дробями , а именно - в ликвидации трёхэтажности дроби.
Пример 4. Найти производную функции
.
Решение. Здесь буква "фи" играет ту же роль, что "икс" в предыдущих случаях (и в большинстве других, но не во всех) - независимой переменной. Поэтому, когда будем искать производную произведения функций, не будем спешить объявлять равной нулю производную корня от "фи". Итак:
Но на этом решение не заканчивается. Так как в двух скобках собраны подобные члены, от нас ещё требуется преобразовать (упростить) выражение. Поэтому умножаем скобки на вынесенные за них множители, а далее приводим слагаемые к общему знаменателю и выполняем другие элементарные преобразования:
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В этом примере от нас потребуется знание того факта, что существует такая тригонометрическая функция - секанс - и её формулы через косинус. Дифференцируем:
Пример 6. Найти производную функции
.
Решение. В этом примере от нас потребуется помнить из школьного курса формулу двойного угла. Но сначала дифференцируем:
,
(это и есть формула двойного угла)
Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.
Константа y = C Степенная функция y = x p (x p) " = p · x p - 1 |
Показательная функция y = a x (a x) " = a x · ln a В частности, при a = e имеем y = e x (e x) " = e x |
Логарифмическая функция (log a x) " = 1 x · ln a В частности, при a = e имеем y = ln x (ln x) " = 1 x |
Тригонометрические функции (sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x |
Обратные тригонометрические функции (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2 |
Гиперболические функции (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x |
Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.
Производная постоянной
Доказательство 1Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x 0 = x , где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f (x) = C . Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при ∆ x → 0:
lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0
Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0 ∆ x . Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.
Итак, производная постоянной функции f (x) = C равна нулю на всей области определения.
Пример 1
Даны постоянные функции:
f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7
Решение
Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3 . В следующем примере необходимо брать производную от а , где а - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4 . 13 7 22 , четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби - 8 7 .
Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)
f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0
Производная степенной функции
Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (x p) " = p · x p - 1 , где показатель степени p является любым действительным числом.
Доказательство 2
Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p = 1 , 2 , 3 , …
Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x
Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:
(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p - x p = = C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p
Таким образом:
(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 1 + C p p · (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 · x p - 1 + C p 2 · x p - 2 · ∆ x + . . . + C p p - 1 · x · (∆ x) p - 2 + C p p · (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1
Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.
Доказательство 3
Чтобы привести доказательство для случая, когда p - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.
Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.
Итак, x > 0 . Тогда: x p > 0 . Логарифмируем равенство y = x p по основанию e и применим свойство логарифма:
y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x
На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:
(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1
Теперь рассматриваем случай, когда x – отрицательное число.
Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x < 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Тогда x p < 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.
Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x < 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:
y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1
Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p - 1 либо четное число, либо нуль (при p = 1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (- x) p - 1 = x p - 1 .
Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p .
Пример 2
Даны функции:
f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12
Определите их производные.
Решение
Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y = x p , опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:
f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 · x - 2 3 - 1 = - 2 3 · x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 · x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 · x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " (x) = - log 7 12 · x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 · x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 · x - log 7 84
Производная показательной функции
Доказательство 4Выведем формулу производной, взяв за основу определение:
(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0
Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z = a ∆ x - 1 (z → 0 при ∆ x → 0). В таком случае a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.
Осуществим подстановку в исходный предел:
(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z
Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:
(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a
Пример 3
Даны показательные функции:
f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x
Необходимо найти их производные.
Решение
Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:
f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x · ln 2 3 = 2 3 x · (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x · ln 5 1 3 = 1 3 · 5 3 x · ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x · ln 1 e = 1 e x · ln e - 1 = - 1 e x
Производная логарифмической функции
Доказательство 5Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:
(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x · log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a
Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.
Пример 4
Заданы логарифмические функции:
f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x
Необходимо вычислить их производные.
Решение
Применим выведенную формулу:
f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x · ln e = 1 x
Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x .
Производные тригонометрических функций
Доказательство 6Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.
Согласно определению производной функции синуса, получим:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x
Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:
(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 · sin x + ∆ x - x 2 · cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2
Наконец, используем первый замечательный предел:
sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x
Итак, производной функции sin x будет cos x .
Совершенно также докажем формулу производной косинуса:
cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 · sin x + ∆ x - x 2 · sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x
Т.е. производной функции cos x будет – sin x .
Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:
t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x
Производные обратных тригонометрических функций
Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.
Производные гиперболических функций
Доказательство 7Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:
s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
тема :
Цель : Сформировать представление о производных обратных тригонометрических функций.
Задачи:
1.
научить находить производные данных функций,
отработать с учащимися умение дифференцировать данные функции с помощью
самостоятельной работы и взаимопроверки;
2.
развивать интерес к математике, вычислительные и
познавательные
навыки,
умение анализировать ошибки других учащихся;
3. воспитывать внимательность, самостоятельность
1. Организационный момент
Приветствую учащихся, знакомлю с правилами работы на уроке, объясняю, как правильно заполнять рейтинговый лист
2.Мотивационный этап
Учащиеся читают обязательно, что они должны знать и уметь по данной теме.
Перед началом работы ознакомьтесь с правилом ПОМНИ.
3.Операционный этап
Учащиеся приступают к выполнению заданий по учебному листу (прилагается)
4.Итог урока
Рефлексия.
Сегодня на уроке:
Я узнал…
Было интересно…
Было трудно…
У меня получилось…
Я попробую…
УЧЕБНЫЙ ЛИСТ
по теме: Производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
2 урока.
В РЕЗУЛЬТАТЕ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ НУЖНО
ЗНАТЬ: формулы дифференцирования для тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
УМЕТЬ: находить производные тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Помни , что работать нужно по алгоритму.
Не забывай проходить проверку, делать пометки на полях, заполнять рейтинговый лист темы.
Пожалуйста, не оставляй без ответа, возникшие у тебя вопросы.
Будь объективен во время взаимопроверки, это поможет и тебе, и тому, кого ты проверяешь.
ЖЕЛАЮ УСПЕХА!
З АДАНИЕ №1
Прочитай и выучи формулы дифференцирования обратных тригонометрических функций: (2 б.)
Если функция сложная, то
где z – элементарная функция
Рассмотри примеры:
y = arcsin (x) тогда y / =
y = arcctg(3x 2 -4) тогда
y / =
Найди производные: (3 б.)
y= arcsin(-x) y = arctg(-x) y = arcos(2x)
П РОЙДИ ПРОВЕРКУ №1
З АДАНИЕ №2
Реши любой из примеров: (3б)
а ) y = arcos(5x - 3)
б ) y = arcctg(7x+1)
П РОЙДИ ПРОВЕРКУ №2
З АДАНИЕ №3
а) Рассмотри еще раз решение примера:
б) Найди производные функций (4 б.)
arcsin(2x 2 - 5x)
arccos(4x 2 - 6x)
П РОЙДИ ПРОВЕРКУ №3
З АДАНИЕ №4
Молодец! Можно приступить к проверочной работе № 1.
ЗАДАНИЕ №5
а) Рассмотри решение примера:
б) Найди производные функций (6 б.)
y =
П РОЙДИ ПРОВЕРКУ №5
Молодец! Можно приступить к проверочной работе № 2.
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА №1
Выполни один из вариантов (11б)
1в 2в
1.Найди производные следующих функций:
а) 2 балла
y = arctg(-2x) y = arcos(3x)
б) 4 балла
y = arcos(3x 2 - 2) y = arcctg(2x 3 +1)
в) 5 баллов
y = arcsin(x 2 - 5x) + tg (2x+1) y = arccos(3x 2 - 2x) + ctg(x+4) Мах
баллов
полученный
балл
кто
проверил
оценка
1
2 б
3 б
2
3б
3
4б
4
1 1 б
5
6 б
6
1 4 б
итого
43 б
ИТОГО 43 балла
«5» - 33 – 43 балла;
«4» - 24 – 32 балла;
«3» - 18 – 23 балла.
Навигация по странице.
Производная постоянной.
При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производной функции в точке. Возьмем , где x
– любое действительное число, то есть, x
– любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не является , так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Пример.
Найти производные следующих постоянных функций
Решение.
В первом случае мы имеем производную натурального числа 3 , во втором случае нам приходится брать производную от параметра а , который может быть любым действительным числом, в третьем - производную иррационального числа , в четвертом случае имеем производную нуля (ноль является целым числом), в пятом – производную рациональной дроби .
Ответ:
Производные всех этих функций равны нулю для любого действительного x
(на всей области определения)
Производная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:
Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле :
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x .
Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e
и применим свойство логарифма:
Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
Осталось провести доказательство для отрицательных x .
Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел ). То есть, . В этом случае и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.
Когда показатель p
представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при , причем является нечетной. То есть, . В этом случае и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:
Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1 ), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство .
Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p .
Пример.
Найти производные функций .
Решение.
Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел:
По определению производной для функции синуса имеем .
Воспользуемся формулой разности синусов:
Осталось обратиться к первому замечательному пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.
При решении задач дифференцирования мы будем постоянно обращаться к таблице производных основных функций, иначе зачем мы ее составляли и доказывали каждую формулу. Рекомендуем запомнить все эти формулы, в дальнейшем это сэкономит Вам массу времени.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта , включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.