von denen (falls alle Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): a_i Und Ausdruck kann nicht analysiert werden (ausführbare Datei texvc Nicht gefunden; Siehe math/README für Setup-Hilfe.): b_i reelle Zahlen sind) folgt die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung:

Schreiben Sie eine Rezension zum Artikel "Binet - Cauchy-Formel"

Literatur

• Gantmacher F. R. Matrixtheorie. -M.: Nauka, 1966.
• Faddeev D.K. Vorlesungen über Algebra. -M.: Nauka, 1984.
• Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineare Algebra und Geometrie. -M.: Fizmatlit, 2009.

Anmerkungen

Verknüpfungen

Ein Auszug zur Charakterisierung der Binet-Cauchy-Formel

Und noch etwas... Seit Jahrhunderten hat die Natur dort ihre steinerne "Erinnerung" an traurige Ereignisse und Menschen geschaffen, die ihr großes liebevolles Herz tief berührt haben... Gleich am Eingang zur Höhle der Toten steht eine Statue einer weisen Eule, die seit Jahrhunderten den Frieden der Toten hütet...

Satz (Cauchy-Binet-Formel)

Lassen Sie, - und -Matrizen bzw. und

Mit anderen Worten, für ist die Determinante einer Matrix die Summe der Produkte aller möglichen Minoren der Ordnung in und der entsprechenden Minoren einer Matrix derselben Ordnung.

Übung 1. Lassen Sie uns mit einem Beispiel zeigen

Seien und dann gemäß der Cauchy-Binet-Formel:

Beweis des Satzes:

Da kann man schreiben

Die Determinante ist eine additive und homogene Funktion jeder ihrer Spalten. Unter Verwendung dieser Tatsache für jede der Spalten in drücken wir als Summe von Determinanten aus:

Diejenigen Terme in der Summierung, die zwei oder mehr übereinstimmende Indizes haben, sind Null, da in diesen Fällen die Minderjährigen mindestens zwei übereinstimmende Spalten haben werden. Es müssen also nur die Summationsterme betrachtet werden, bei denen die Indizes unterschiedlich sind. Diese verbleibenden Mitglieder verteilen wir jeweils so auf Gruppen von Mitgliedern, dass sich die Mitglieder in jeder Gruppe nur in der Reihenfolge der Indizes unterscheiden. Beachten Sie auch, dass wir schreiben können

wo. Daher ist die Summe über die Terme, in denen eine Permutation von Zahlen ist, durch den Ausdruck gegeben:

Indem wir die Elemente so anordnen, dass die ersten Indizes in aufsteigender Reihenfolge sind, bringen wir diesen Ausdruck in die Form:

wo ist eine Permutation von Zahlen, wie es offensichtlich ist. Aus der Determinante der Determinantenfunktion folgt nun, dass dieser Ausdruck einfach lautet:

Folge. Die Determinante des Produkts zweier multipler Matrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der Faktoren.

Dies folgt aus dem Satz für

Bundesamt für Bildung

Staatliche Pädagogische Universität Murmansk

Fakultät für Angewandte Mathematik, Programmierung und Wirtschaftswissenschaften

Institut für Algebra, Geometrie und Angewandte Mathematik

Kursarbeit

Determinante des Produkts rechteckiger Matrizen.

Satz von Cauchy-Binet.

Abgeschlossen von einem Schüler

II Kursgruppe PMI

Reshotkina Natalia Nikolajewna

Wissenschaftlicher Leiter:

Promotion in Physik und Mathematik

Wissenschaften, außerordentlicher Professor der Abteilung für AG und PM

Mostowskoj Alexander Pawlowitsch

Murmansk

TOCo "1-3" h z u Einführung. SEITENREF _Toc169771091 h 4

Kapitel I. PAGEREF _Toc169771092 h 5

§ 1 Definition, Notation und Arten von Matrizen. SEITENREF _Toc169771093 h 5

Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Matrizen mit Skalaren: PAGEREF _Toc169771094 h 7

Kapitel II. SEITENREF _Toc169771095 h 7

§1 Matrixmultiplikation. SEITENREF _Toc169771096 h 7

§2 Eigenschaften der Matrixmultiplikation. SEITENREF _Toc169771097 h 8

§3 Technik der Matrixmultiplikation. SEITENREF _Toc169771098 h 9

§4 Umsetzung des Produkts von Matrizen. SEITENREF _Toc169771099 h 10

Kapitel III. SEITENREF _Toc169771100 h 10

§1 Invertierbare Matrizen… PAGEREF _Toc169771101 h 10

§2 Grundmatrizen… PAGEREF _Toc169771102 h 12

Kapitel IV… PAGEREF _Toc169771103 h 13

§1 Determinanten. SEITENREF _Toc169771104 h 13

§2 Die einfachsten Eigenschaften von Determinanten. SEITENREF _Toc169771105 h 14

§3 Grundlegende Eigenschaften von Determinanten. SEITENREF _Toc169771106 h 14

§4 Minoren und algebraische Additionen PAGEREF _Toc169771107 h 18

Sätze über Determinanten PAGEREF _Toc169771108 h 18

§5 Determinante des Produkts von Matrizen. SEITENREF _Toc169771109 h 21

Notwendige und hinreichende Bedingungen, damit die Determinante gleich Null ist ... PAGEREF _Toc169771110 h 22

§6 Matrixpartitionierung. SEITENREF _Toc169771111 h 23

§7 Satz (Binet-Cauchy-Formel) PAGEREF _Toc169771112 h 25

Fazit. SEITENREF _Toc169771113 h 28

Literatur. SEITENREF _Toc169771114 h 30

Blinddarm. SEITENREF _Toc169771115 h 31

Einführung

Bei der Lösung verschiedener Probleme der Mathematik hat man es oft mit Zahlentafeln zu tun, die Matrizen genannt werden. Mit Hilfe von Matrizen ist es bequem, lineare Gleichungssysteme zu lösen, viele Operationen mit Vektoren durchzuführen, verschiedene Probleme der Computergrafik und andere technische Probleme zu lösen.

Zweck dieser Arbeit: Theoretische Begründung und Notwendigkeit der praktischen Anwendung des Cauchy-Binet-Theorems:

Lassen , - Und -Matrizen bzw.

Dann

Mit anderen Worten, wann Matrix Determinante ist die Summe der Produkte aller möglichen Unterordnungen in zu den entsprechenden Matrixminoren die gleiche Reihenfolge

Die Arbeit besteht aus vier Kapiteln, enthält ein Fazit, ein Literaturverzeichnis und ein Anwendungsprogramm für das Cauchy-Binet-Theorem. Kapitel I behandelt die Elemente der linearen Algebra - Matrizen, Operationen auf Matrizen und die Eigenschaften der Matrixaddition und Skalarmultiplikation. Kapitel II widmet sich der Multiplikation von Matrizen und ihren Eigenschaften sowie der Transposition des Produkts zweier Matrizen. Kapitel III befasst sich mit invertierbaren und elementaren Matrizen. Kapitel IV führt in das Konzept der Determinante einer quadratischen Matrix ein, diskutiert Eigenschaften und Sätze über Determinanten und liefert auch einen Beweis des Satzes von Cauchy-Binet, der das Ziel meiner Arbeit ist. Außerdem ist ein Programm beigefügt, das den Mechanismus zum Auffinden der Determinante des Produkts zweier Matrizen zeigt.

Kapitel I

§ 1 Definition, Notation und Arten von Matrizen

Wir definieren eine Matrix als rechteckige Zahlentabelle:

Wobei die Elemente der Matrix aij(1≤i≤m, 1≤j≤n) Zahlen aus dem Feld sind .Für unsere Feldzwecke ist entweder die Menge aller reellen Zahlen oder die Menge aller komplexen Zahlen. Matrixgröße , wobei m die Anzahl der Zeilen und n die Anzahl der Spalten ist. Wenn m=n, dann wird die Matrix als quadratisch bezeichnet, der Ordnung n. Im Allgemeinen wird eine Matrix als rechteckige Matrix bezeichnet.

Jeder Matrix mit Elementen aij entspricht einer n×m-Matrix mit Elementen aji. Es heißt transponiert zu und ist mit bezeichnet =. Matrixzeilen werden Spalten in und Matrixspalten werden zu Saiten

Eine Matrix heißt null, wenn alle Elemente 0 sind:

Eine Matrix heißt dreieckig, wenn alle ihre Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen 0 sind

Eine Dreiecksmatrix heißt Diagonale, wenn alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale 0 sind

Eine Diagonalmatrix heißt identisch, wenn alle Elemente auf der Hauptdiagonale gleich 1 sind

Matrix bestehend aus Elementen, die sich am Schnittpunkt mehrerer ausgewählter Zeilen der Matrix befinden und mehrere ausgewählte Spalten, wird als Untermatrix für die Matrix bezeichnet

Insbesondere die Zeilen und Spalten einer Matrix können als ihre Untermatrizen betrachtet werden.

§2Operationen auf Matrizen

Wir definieren die folgenden Operationen:

ICH.

Summe von zwei Matrizen mit Elementen Und Matrix C mit Elementen

II.

Matrixprodukt pro Zahl

III.

Arbeit Matrizen Matrix C mit Elementen

IV.

Bereich der Skalare, betrachte Matrizen über dem Feld

Def. Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie die gleiche Dimension haben und die gleichen Elemente an den gleichen Stellen haben. Mit anderen Worten: ist gleich der Matrix

Def.Let Und namens Spalte lokalisiertes Element

Def.Let zu Matrix namens in welchem Spalte lokalisiertes Element mit Matrix multiplizieren alle Elemente der Matrix benötigen mit einem Skalar multiplizieren

Definition.Gegensatz zu Matrix Matrix genannt

Eigenschaften der Addition und Multiplikation von Matrizen mit Skalaren:

1) Matrixaddition assoziativ und kommutativ.

2)

3)

aber)

B)

4)

Kapitel II§1 Matrixmultiplikation

Def.Produkt Matrizen auf der Matrix namens die Matrix

Sie sagen, dass ist das Skalarprodukt auf der

§2 Eigenschaften der Matrixmultiplikation

1.

Die Matrixmultiplikation ist assoziativ:

1) Und

Nachweisen:

Lassen und bestimmt

Wir definieren Matrizen:

aber)

B)

(1) Matrizen also gleiche Abmessung haben

2) Zeigen wir das an denselben Stellen in den Matrizen identische Elemente befinden

Fazit: Matrizen haben die gleichen Abmessungen und die gleichen Elemente an den gleichen Stellen.

2.

Die Matrixmultiplikation ist distributiv

Nachweisen:

wie beschrieben und bestimmt

Maße

Matrizen die gleiche Dimension haben, zeigen wir die Position der gleichen Elemente:

Fazit: Die gleichen Elemente befinden sich an den gleichen Stellen.

3. Matrizen, dann ist der Beweis ähnlich wie Eigenschaft 2.

4.

Nachweisen:

5. Die Matrixmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Schauen wir uns das an einem Beispiel an:

§3 Matrizenmultiplikationstechnik

skalares Feld,

Eigenschaften:

1)

Arbeit kann als Ergebnis der Multiplikation der Spalten der Matrix angesehen werden auf der linken Seite und als Ergebnis der Multiplikation der Zeilen der Matrix auf der rechts.

2)

Lassen die Matrix

Lassen deren Koeffizienten die Elemente der Matrix sind

3)

Matrixspalten §4 Umsetzung des Produkts von Matrizen

skalares Feld,

wenn

Nachweisen:

1) Lass

- Maße

2)diese

auf der Säule

Kapitel III§1 Invertierbare Matrizen

Bereich der Skalare, Satz

Definition.Quadratmatrix Befehl heißt Identitätsmatrix

Lassen

Satz 1

durchgeführt

Nachweisen:

Deswegen ist die Identitätsmatrix. Es spielt die Rolle einer Einheit bei der Matrixmultiplikation.

Definition. quadratische Matrix damit die Bedingungen erfüllt sind

Die Matrix heißt umgekehrt zu bezeichnet umgekehrt zu

Satz 2

Wenn

Nachweisen:

Lassen Sie die Matrix diese.

Notation: Die Menge aller invertierbaren Ordnungsmatrizen über das Feld bezeichnet

Satz 3

Faire Aussagen:

1)Algebra

2)Gruppe

Nachweisen:

a) Lass

zurück zu

Ähnlich: invertierbare Matrix, d.h.

B)

in) reversibel, d.h.

2) Beweisen wir die zweite Behauptung that Gruppe. Dazu überprüfen wir die Gruppenaxiome:

1)

2)

3)

Gruppe

Folge:

1)

Das Produkt invertierbarer Matrizen ist eine invertierbare Matrix

2)

Wenn dann reversibel

3)

4)

§2 Elementare Matrizen

Lassen Bereich der Skalare

Definition Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die aus einer Identitätsmatrix erhalten wird als Ergebnis einer der folgenden elementaren Transformationen:

1)

Zeilen- (Spalten-) Multiplikation zu einem Skalar

2)

Hinzufügen zu einer beliebigen Zeile (Spalte) eine weitere Zeile (Spalte) multipliziert mit einem Skalar

Bezeichnung:

Beispiel: Elementarmatrizen der Ordnung 2

Bezeichnung:

Kapitel IV§1 Qualifikationsmerkmale

Matrixdeterminante multipliziert mit dem Vorzeichen der entsprechenden Substitution.

Die Determinante zweiter Ordnung ist gleich dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonale subtrahieren Sie das Produkt der Elemente der Seitendiagonalen.

Zum

Wir haben die Dreiecksregel:

FORM*MERGEFORMAT

§2 Die einfachsten Eigenschaften von Determinanten

1)

Die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile (Spalte) ist Null

2)

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente, die sich auf der Hauptdiagonale befinden

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt der Elemente, die sich auf der Hauptdiagonalen befinden. Die Matrix Diagonale, wenn alle außerhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente gleich Null sind.

Das Produkt zweier rechteckiger Matrizen sei eine quadratische Matrix.

Dies geschieht genau dann, wenn nicht nur die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten ist, sondern auch die Anzahl der Zeilen der ersten gleich der Anzahl der Spalten der zweiten:

In dieser Situation gilt der folgende Satz, der Binet-Cauchy-Satz genannt wird.

Satz 3. Die Determinante der Matrix AB ist gleich Null, wenn , und gleich der Summe der Produkte aller Minoren der Ordnung der Matrix A und der entsprechenden Minoren der m-ten Ordnung der Matrix B, wenn .

Die Entsprechung von Minoren wird hier in folgendem Sinne verstanden: Die Zahlen der Spalten der Matrix A, die das Minor bilden, stimmen mit den Zahlen der Zeilen der Matrix B überein, die das entsprechende Minor bilden.

In Formelschreibweise:

wobei - Nebenwert von Matrix A, bestehend aus Spalten mit Zahlen - Nebenwert von Matrix B, bestehend aus Zeilen mit Zahlen

Der Satz von Binet-Cauchy kann ähnlich bewiesen werden wie der Beweis des Satzes über die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen (der natürlich ein Spezialfall des Satzes von Binet-Cauchy ist). Allerdings müsste man in diesem Fall den Satz von Laplace in einer allgemeinen Formulierung verwenden.

Wir geben einen Beweis basierend auf einer anderen Idee. Lassen Sie uns im Detail aufschreiben

Wenden Sie nun die Linearitätseigenschaft der Determinante auf die erste Spalte an. Bekommen

wo alle Determinanten Spalten haben, beginnend mit der zweiten, die gleichen wie in der ursprünglichen Form.

Wenden wir nun die Linearitätseigenschaft auf die zweite Spalte der Determinanten an, aus denen diese Summe besteht. Bekommen

wobei die Indizes unabhängig von den Werten von laufen. Hier haben alle Determinanten Spalten, beginnend mit der dritten, die gleichen wie in der ursprünglichen Form.

Auf die gleiche Weise setzen wir die Erweiterung der Determinante in die Summe der Determinanten fort und wenden die Linearitätseigenschaft auf die dritte Spalte an. Als Ergebnis bekommen wir

wobei die Indizes unabhängig voneinander alle Werte von 1 bis annehmen. Hier gibt es nur Begriffe. Nimm den gemeinsamen Faktor aus jeder Spalte heraus. Bekommen

Wenn dann die Indizes „so überfüllt“ sind, dass es unter ihren Werten mindestens ein Paar von Gleichen gibt. Aber dann sind alle in den Termen enthaltenen Determinanten gleich Null, da sie gleiche Spalten haben. Daher bei .

Lassen Sie uns nun sagen, wenn es unter den Werten der Indizes mindestens ein Gleichheitspaar gibt, dann ist der entsprechende Term gleich Null. Alle diese Terme können verworfen werden und die auf paarweise unterschiedliche Werte der Indizes ausgedehnte Summe bleibt bestehen. Sätze solcher Werte können sich sowohl in der Zusammensetzung der Werte als auch in der Reihenfolge unterscheiden, wenn die Zusammensetzung gleich ist. Solche Mengen werden Platzierungen genannt. Lassen Sie uns es durch die Menge der Werte der Indizes bezeichnen, die in aufsteigender Reihenfolge angeordnet sind: so dass bei gleicher Zusammensetzung die Werte der Indizes Permutationen der Elemente bilden

Führen wir zunächst die Summation über alle möglichen Mengen derselben Zusammensetzung durch, also über die Permutationen der Elemente, und addieren dann die resultierenden Summen über die möglichen Zusammensetzungen.

wo in der inneren Summe über alle Mengen von Komponenten der Zahlenpermutation innerhalb der inneren Summe summiert wird, unterscheiden sich die Determinanten nur in der Reihenfolge der Spalten. Wenn wir die Spalten in aufsteigender Reihenfolge der Indexwerte anordnen, erhalten wir:

Alle Terme der inneren Summe beinhalten dieselbe Determinante als Faktor. Es kann aus dem Summenzeichen herausgenommen werden

Nach dem Entfernen des Minors der Matrix A aus dem Vorzeichen der internen Summe bleibt ein wertvolles Erbe in Form eines Faktors zurück, dessen Vorhandensein uns den Schluss zulässt, dass die interne Summe gleich der Determinante ist

Tatsächlich ist es die Summe aller möglichen Produkte der Elemente der Matrix dieser Determinante, eines aus jeder Reihe (schließlich geht (Achse ) durch alle möglichen Permutationen von Zahlen) und eines aus jeder Spalte.