सुनहरे अनुपात का प्रयोग करें। स्वर्ण अनुपात - गणित - पवित्र ज्यामिति - विज्ञान - लेखों की सूची - दुनिया का गुलाब। मानव शरीर में सुनहरा अनुपात

गोल्डन रेश्यो एक सरल सिद्धांत है जो आपके डिज़ाइन को आकर्षक बनाने में मदद करेगा। इस लेख में, हम विस्तार से बताएंगे कि इसका उपयोग कैसे और क्यों करना है।

प्रकृति में एक सामान्य गणितीय अनुपात जिसे गोल्डन रेशियो, या गोल्डन मीन कहा जाता है, फाइबोनैचि अनुक्रम पर आधारित है (जिसके बारे में आपने स्कूल में सबसे अधिक सुना होगा, या डैन ब्राउन के द दा विंची कोड में पढ़ा होगा), और इसका मतलब 1 का पहलू अनुपात है। :1.61.

ऐसा अनुपात अक्सर हमारे जीवन (गोले, अनानास, फूल, आदि) में पाया जाता है और इसलिए एक व्यक्ति इसे प्राकृतिक, आंख को भाता है।

→ सुनहरा अनुपात फाइबोनैचि अनुक्रम में दो संख्याओं के बीच का संबंध है
→ इस क्रम को पैमाने पर प्लॉट करने से सर्पिल मिलते हैं जिन्हें प्रकृति में देखा जा सकता है।

यह माना जाता है कि स्वर्ण अनुपात का उपयोग मानव जाति द्वारा 4,000 से अधिक वर्षों से कला और डिजाइन में किया गया है, और संभवतः इससे भी अधिक, वैज्ञानिकों के अनुसार जो दावा करते हैं कि प्राचीन मिस्रियों ने पिरामिड के निर्माण में इस सिद्धांत का उपयोग किया था।

प्रसिद्ध उदाहरण

जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, स्वर्ण अनुपात कला और स्थापत्य के पूरे इतिहास में देखा जा सकता है। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो केवल इस सिद्धांत का उपयोग करने की वैधता की पुष्टि करते हैं:

वास्तुकला: पार्थेनन

प्राचीन ग्रीक वास्तुकला में, एक इमारत की ऊंचाई और चौड़ाई, एक पोर्टिको के आकार और यहां तक ​​​​कि स्तंभों के बीच की दूरी के बीच आदर्श अनुपात की गणना के लिए स्वर्ण अनुपात का उपयोग किया जाता था। बाद में, यह सिद्धांत नवशास्त्रीय वास्तुकला द्वारा विरासत में मिला।

कला: पिछले खाना

कलाकारों के लिए, रचना नींव है। लियोनार्डो दा विंची, कई अन्य कलाकारों की तरह, गोल्डन रेशियो के सिद्धांत द्वारा निर्देशित थे: लास्ट सपर में, उदाहरण के लिए, शिष्यों के आंकड़े निचले दो तिहाई (स्वर्ण अनुपात के दो भागों में से बड़े) में स्थित हैं। ), और यीशु को दो आयतों के बीच सख्ती से केंद्र में रखा गया है।

वेब डिज़ाइन: 2010 में ट्विटर का नया स्वरूप

ट्विटर के क्रिएटिव डायरेक्टर डौग बोमन ने अपने फ़्लिकर अकाउंट पर एक स्क्रीनशॉट पोस्ट किया जिसमें 2010 के रीडिज़ाइन के लिए सुनहरे अनुपात के उपयोग की व्याख्या की गई थी। "कोई भी जो #NewTwitter अनुपात में रुचि रखता है - जानता है कि सब कुछ एक कारण से किया जाता है," उन्होंने कहा।

एप्पल आईक्लाउड

आईक्लाउड सर्विस आइकन भी एक रैंडम स्केच नहीं है। जैसा कि ताकामासा मात्सुमोतो ने अपने ब्लॉग (मूल जापानी संस्करण) में समझाया है, सब कुछ स्वर्ण अनुपात के गणित पर आधारित है, जिसकी शारीरिक रचना दाईं ओर की आकृति में देखी जा सकती है।

गोल्डन रेश्यो कैसे बनाया जाता है?

निर्माण काफी सरल है, और मुख्य वर्ग से शुरू होता है:

एक वर्ग ड्रा करें। यह आयत के "लघु पक्ष" की लंबाई बनाएगा।

वर्ग को एक ऊर्ध्वाधर रेखा से आधा में विभाजित करें ताकि आपको दो आयतें मिलें।

एक आयत में विपरीत कोनों को मिलाकर एक रेखा खींचिए।

इस रेखा का क्षैतिज रूप से विस्तार करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

आधार के रूप में पिछले चरणों में आपके द्वारा खींची गई क्षैतिज रेखा का उपयोग करके एक और आयत बनाएं। तैयार!

"गोल्डन" उपकरण

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निबंध एमओयू व्यायामशाला संख्या 9 के 8 वीं कक्षा के एक छात्र द्वारा पूरा किया गया था। व्युशिना वेरोनिका

येकातेरिनबर्ग

1 परिचय। स्वर्ण खंड का अनुपात। एफ और .

"ज्यामिति में दो महान खजाने हैं। पहला पाइथागोरस प्रमेय है, दूसरा चरम और औसत अनुपात में एक खंड का विभाजन है"

जोहान्स केप्लर

आर्किमिडीज से बहुत पहले नियमित बहुभुजों ने प्राचीन यूनानी वैज्ञानिकों का ध्यान आकर्षित किया था। पाइथागोरस, जिन्होंने अपने संघ के प्रतीक के रूप में पेंटाग्राम - एक पांच-बिंदु वाला तारा चुना, ने एक वृत्त को समान भागों में विभाजित करने की समस्या को बहुत महत्व दिया, अर्थात एक नियमित रूप से अंकित बहुभुज का निर्माण किया। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471-1527), जो जर्मनी में पुनर्जागरण का अवतार बन गया, टॉलेमी के महान काम "अल्मागेस्ट" से उधार लिया गया एक नियमित पेंटागन बनाने के लिए सैद्धांतिक रूप से सटीक तरीका देता है।

नियमित बहुभुजों के निर्माण में ड्यूरर की रुचि मध्य युग में अरबी और गॉथिक आभूषणों में उनके उपयोग को दर्शाती है, और किले के लेआउट में आग्नेयास्त्रों के आविष्कार के बाद।

नियमित बहुभुजों के निर्माण के लिए मध्यकालीन तरीके अनुमानित थे, लेकिन सरल थे (या नहीं हो सकते थे): निर्माण के तरीकों को वरीयता दी गई थी, जिसमें कंपास के समाधान को बदलने की भी आवश्यकता नहीं थी। लियोनार्डो दा विंची ने भी बहुभुजों के बारे में बहुत कुछ लिखा था, लेकिन यह लियोनार्डो नहीं, बल्कि ड्यूरर थे, जिन्होंने मध्ययुगीन निर्माण विधियों को भावी पीढ़ी तक पहुंचाया। ड्यूरर, निश्चित रूप से, यूक्लिड के "सिद्धांतों" से परिचित थे, लेकिन अपने "गाइड टू मेजरमेंट" (एक कंपास और शासक के साथ निर्माण पर) में शामिल नहीं थे, यूक्लिड द्वारा एक नियमित पेंटागन के निर्माण के लिए प्रस्तावित विधि, सैद्धांतिक रूप से सटीक, जैसे सभी यूक्लिडियन निर्माण यूक्लिड किसी दिए गए वृत्ताकार चाप को तीन बराबर भागों में विभाजित करने का प्रयास नहीं करता है, और ड्यूरर जानता था, हालाँकि इसका प्रमाण केवल 19वीं शताब्दी में ही मिला था, कि यह समस्या अनसुलझी थी।

यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित एक नियमित पंचकोण के निर्माण में मध्य और चरम अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का विभाजन शामिल है, जिसे बाद में स्वर्ण खंड कहा गया और कई शताब्दियों तक कलाकारों और वास्तुकारों का ध्यान आकर्षित किया।

बिंदु बी खंड एबीई को मध्य और चरम अनुपात में विभाजित करता है या सुनहरा अनुपात बनाता है यदि खंड के बड़े हिस्से का छोटे हिस्से का अनुपात पूरे खंड के बड़े हिस्से के अनुपात के बराबर है।

अनुपातों की समानता के रूप में लिखा गया, स्वर्ण खंड का रूप है

एबी/बीई = एबी/एई

यदि हम AB=a और BE=a/F रखें ताकि सुनहरा अनुपात AB/BE=F के बराबर हो, तो हमें अनुपात मिलता है

अर्थात्, F समीकरण को संतुष्ट करता है

इस समीकरण का एक धनात्मक मूल है

Ф=(√5+1)/2=1.618034….

ध्यान दें कि 1/Ф = (√5 -1)/2, क्योंकि (√5-1)(√5+1) =5-1=4. यह =0.618034… को 1/Ф के रूप में मानने की प्रथा है।

और φ - ग्रीक अक्षर "फी" के अपरकेस और लोअरकेस रूप।

यह पद प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िदियास (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के सम्मान में अपनाया गया था। फ़िडियास ने एथेंस में पार्थेनन मंदिर के निर्माण की देखरेख की। इस मंदिर के अनुपात में अंक बार-बार उपस्थित होता है।

2. स्वर्ण खंड का इतिहास

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि स्वर्ण विभाजन की अवधारणा को एक प्राचीन यूनानी दार्शनिक और गणितज्ञ (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) पाइथागोरस द्वारा वैज्ञानिक उपयोग में लाया गया था। एक धारणा है कि पाइथागोरस ने मिस्र और बेबीलोनियों से स्वर्ण विभाजन का अपना ज्ञान उधार लिया था। दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स पिरामिड, मंदिरों, आधार-राहत, घरेलू सामान और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय गोल्डन डिवीजन के अनुपात का इस्तेमाल किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कॉर्बूसियर ने पाया कि अबीडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर से राहत में और फिरौन रामेसेस को चित्रित राहत में, आंकड़ों के अनुपात सुनहरे विभाजन के मूल्यों के अनुरूप हैं। अपने नाम के मकबरे से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित वास्तुकार खेसीरा, अपने हाथों में मापक यंत्र रखता है, जिसमें स्वर्ण मंडल के अनुपात तय होते हैं।

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के लिए समर्पित है, और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के प्रश्नों के लिए।

पार्थेनन में छोटी भुजाओं पर 8 स्तंभ हैं और लंबी भुजाओं पर 17 स्तंभ हैं। इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटा के कुछ प्रोट्रूशियंस मिलेंगे। इसकी खुदाई के दौरान, परकार मिले, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी सुनहरे विभाजन के अनुपात शामिल हैं।

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के "शुरुआत" में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "शुरुआत" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य ने स्वर्ण विभाजन का अध्ययन किया। मध्यकालीन यूरोप में, वे यूक्लिड के "बिगिनिंग्स" के अरबी अनुवादों से स्वर्णिम विभाजन से परिचित हुए। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षितों के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में, विशेष रूप से वास्तुकला में, इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों में महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन ज्ञान की कमी थी। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, जो इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली का डिवाइन प्रोपोर्शन वेनिस में प्रकाशित हुआ था, जिसमें शानदार ढंग से निष्पादित चित्र थे, यही वजह है कि यह माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में, भिक्षु लुका पैसीओली ने अपने "दिव्य सार" को दैवीय त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नाम देने में विफल नहीं किया: ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा (यह समझा गया था कि छोटा खंड भगवान पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को गोल्डन सेक्शन का नाम दिया। तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं: "यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही वह है जो मैंने करने के लिए निर्धारित किया है।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह से, आदि। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

यह लेख एक बहुत ही महत्वपूर्ण रहस्य के बारे में बात करेगा जिसके बारे में बहुत कम व्यवसायी जानते हैं, और जिसकी अज्ञानता अक्सर एक व्यवसाय के पतन की ओर ले जाती है। "गोल्डन सेक्शन" और "फिबोनाची नंबर" जैसी प्रसिद्ध अवधारणाएँ हैं।
फाइबोनैचि श्रृंखला तब होती है जब पिछली दो संख्याओं का योग अगली संख्या देता है। वे। 0,1,1,2,3,5… आदि। प्रकृति में, सब कुछ इसी सिद्धांत के अनुसार बनाया गया है। उदाहरण के लिए, यदि आप किसी पेड़ की शाखाओं की गिनती करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि मुकुट की त्रिज्या में वृद्धि के साथ, उनकी संख्या स्वर्ण खंड के कानून के अनुसार बढ़ जाती है।
0.618 और 0.382 के पहलू अनुपात वाला एक आयत एक सुनहरा आयत है। यदि इसमें से एक वर्ग काट दिया जाए, तो फिर से एक सुनहरा आयत बना रहेगा। इस प्रक्रिया को अनंत काल तक जारी रखा जा सकता है।
एक अन्य परिचित उदाहरण पांच-बिंदु वाला तारा है (यह एक जादू का प्रतीक, एक पेंटाग्राम भी है), जिसमें पांच पंक्तियों में से प्रत्येक दूसरे को सुनहरे खंड के बिंदु पर विभाजित करता है, और तारे के सिरे सुनहरे त्रिकोण होते हैं।
मानव कंकाल का निर्माण भी इसी नियम के अनुसार होता है। इसे सुनहरे अनुपात के करीब अनुपात में बनाए रखा जाता है। और सुनहरे खंड के सूत्र के अनुपात के जितना करीब होगा, व्यक्ति की उपस्थिति उतनी ही आदर्श होगी। यदि किसी व्यक्ति के पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी = 1 है, तो व्यक्ति की ऊंचाई = 1.618 (बेशक, यह आदर्श है)। संख्या 1.618 सुनहरा अनुपात है।
लेकिन इसका व्यापार, धन, वित्त से क्या लेना-देना है?! तो, सबसे तत्काल! फाइबोनैचि कानून वह सूत्र है जिसके द्वारा हर समय धन प्राप्त किया जाता है। और स्वर्ण खंड की संख्या के संबंध में आप जो कुछ भी करेंगे वह सफलता के लिए बर्बाद हो जाएगा। इसके विपरीत, इस नियम की अनदेखी करने से पतन होता है। यह एक तरह का पैसा जादू है।
व्यवहार में व्यापार में स्वर्ण खंड के कानून के आवेदन पर विचार करें। मान लें कि आपने संतरे का एक डिब्बा $1 में खरीदा (इस मामले में डॉलर एक पारंपरिक इकाई है) और इसे $2 में बेच दिया। शत-प्रतिशत लाभ प्राप्त किया। कैसे आगे बढ़ा जाए? इन 2 डॉलर में 2 और बॉक्स खरीदें और बेचें?
नहीं! ये है बदकिस्मत कारोबारियों की सबसे आम गलती! स्वर्ण अनुपात के नियम के अनुसार यह सही होगा कि एक और डिब्बा खरीदकर उसी 100% लाभ पर बेचें, और उसके बाद ही 2 डिब्बे खरीदें। यही है, हम संकेतित सिद्धांत के अनुसार कार्य करते हैं:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,
6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,
514229,832040,1346269…
जैसा कि आप देख सकते हैं, केवल 32 चक्रों में, हम एक मिलियन से अधिक के लाभ तक पहुँच चुके हैं! और साथ ही, हमारे पास हमेशा "अतिरिक्त" पैसा होता था! इसके अलावा, यह सिद्धांत अप्रत्याशित घटना के खिलाफ एक अच्छा बीमा है। आखिरकार, अगर शुरुआत में, $ 1 का लाभ कमाया और हाथ में $ 2 होने और उन सभी को एक ही बार में निवेश करने से सबकुछ खोने का जोखिम होता है। और इसलिए हमारे पास अभी भी एक डॉलर आरक्षित है, किसी भी स्थिति में, हम लाल रंग में नहीं जाएंगे।
स्टॉक एक्सचेंज और अन्य अपेक्षाकृत जोखिम भरे वित्तीय लेनदेन में खेलते समय यह योजना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। उदाहरण योजनाबद्ध है, इसे 20% के लाभ और किसी अन्य के लिए अनुकूलित किया जा सकता है। अपनी गणना में संख्या 1.618 का उपयोग करें - वह गुणांक जिसके द्वारा वित्त बढ़ाया जाना चाहिए, और आप सफल होंगे!
किसी भी गतिविधि को गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत के साथ सहसंबंधित करना उचित है। यह सबसे विश्वसनीय और सुरक्षित तरीका है। मुख्य बात माप की इकाई पर निर्णय लेना है। यह समय, काम के चरण आदि हो सकते हैं। आदि। प्रकृति के नियमों के साथ अपने कदमों का समन्वय करते हुए, कदम दर कदम अमीर भी बनें।

ऐसा कहा जाता है कि "दिव्य अनुपात" प्रकृति में और हमारे आस-पास की कई चीजों में पाया जाता है। आप इसे फूलों, छत्तों, समुद्री सीपों और यहां तक ​​कि हमारे शरीर में भी पा सकते हैं।

यह दिव्य अनुपात, जिसे स्वर्ण अनुपात, दिव्य अनुपात या स्वर्ण अनुपात के रूप में भी जाना जाता है, को विभिन्न प्रकार की कलाओं और सीखने पर लागू किया जा सकता है। वैज्ञानिकों का तर्क है कि कोई वस्तु सोने के अनुपात के जितना करीब होती है, मानव मस्तिष्क उसे उतना ही बेहतर समझता है।

इस अनुपात की खोज के बाद से, कई कलाकारों और वास्तुकारों ने अपने काम में इसका इस्तेमाल किया है। आप पुनर्जागरण की कई उत्कृष्ट कृतियों, वास्तुकला, पेंटिंग, और बहुत कुछ में सुनहरा अनुपात पा सकते हैं। परिणाम एक सुंदर और सौंदर्य की दृष्टि से मनभावन कृति है।

कम ही लोग जानते हैं कि सुनहरे अनुपात का रहस्य क्या है, जो हमारी आंखों को इतना भाता है। बहुत से लोग मानते हैं कि यह तथ्य कि यह हर जगह दिखाई देता है और एक "सार्वभौमिक" अनुपात है, हमें इसे कुछ तार्किक, सामंजस्यपूर्ण और जैविक के रूप में स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, यह सिर्फ "महसूस" करता है जो हमें चाहिए।

तो सुनहरा अनुपात क्या है?

सुनहरा अनुपात, जिसे ग्रीक में "फी" के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय स्थिरांक है। इसे a/b=a+b/a=1.618033987 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहां a, b से बड़ा है। इसे फाइबोनैचि अनुक्रम, एक अन्य दैवीय अनुपात द्वारा भी समझाया जा सकता है। फाइबोनैचि अनुक्रम 1 से शुरू होता है (कुछ कहते हैं 0) और अगली संख्या प्राप्त करने के लिए इसमें पिछली संख्या जोड़ते हैं (यानी 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...)

यदि आप अगले दो फाइबोनैचि संख्याओं (यानी 8/5 या 5/3) के भागफल को खोजने का प्रयास करते हैं, तो परिणाम 1.6 या (phi) के सुनहरे अनुपात के बहुत करीब है।

सुनहरा सर्पिल एक सुनहरे आयत का उपयोग करके बनाया गया है। यदि आपके पास क्रमशः 1, 1, 2, 3, 5 और 8 वर्गों का एक आयत है, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है, तो आप एक सुनहरा आयत बनाना शुरू कर सकते हैं। वर्ग की भुजा को त्रिज्या के रूप में उपयोग करके, आप एक चाप बनाते हैं जो वर्ग के बिंदुओं को तिरछे स्पर्श करता है। स्वर्ण त्रिभुज में प्रत्येक वर्ग के साथ इस प्रक्रिया को दोहराएं और आप एक सुनहरे सर्पिल के साथ समाप्त हो जाएंगे।

हम इसे प्रकृति में कहाँ देख सकते हैं

फूलों की पंखुड़ियों में सुनहरा अनुपात और फाइबोनैचि अनुक्रम पाया जा सकता है। अधिकांश फूलों में पंखुड़ियों की संख्या कम होकर दो, तीन, पांच या अधिक हो जाती है, जो सुनहरे अनुपात के समान है। उदाहरण के लिए, लिली में 3 पंखुड़ियां होती हैं, बटरकप में 5, कासनी के फूलों में 21 और डेज़ी में 34 होती हैं। यह संभावना है कि फूलों के बीज भी सुनहरे अनुपात का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, सूरजमुखी के बीज केंद्र से अंकुरित होते हैं और बीज सिर को भरते हुए बाहर की ओर बढ़ते हैं। वे आमतौर पर सर्पिल होते हैं और एक सुनहरे सर्पिल के समान होते हैं। इसके अलावा, बीजों की संख्या फिबोनाची संख्या तक कम हो जाती है।

हाथ और उंगलियां भी सुनहरे अनुपात का एक उदाहरण हैं। और करीब से देखो! हथेली का आधार और उंगली की नोक भागों (हड्डियों) में विभाजित हैं। एक भाग से दूसरे भाग का अनुपात हमेशा 1.618 होता है! यहां तक ​​कि हाथों के अग्रभाग भी उसी अनुपात में हैं। और उंगलियां, और चेहरा, और सूची जारी है ...

कला और वास्तुकला में आवेदन

कहा जाता है कि ग्रीस में पार्थेनन को सुनहरे अनुपात का उपयोग करके बनाया गया था। ऐसा माना जाता है कि ऊंचाई, चौड़ाई, स्तंभों, स्तंभों के बीच की दूरी और यहां तक ​​कि पोर्टिको के आकार के आयामी अनुपात सुनहरे खंड के करीब हैं। यह संभव है क्योंकि इमारत आनुपातिक रूप से परिपूर्ण दिखती है, और यह प्राचीन काल से ही ऐसा है।

लियोनार्डो दा विंची भी सुनहरे अनुपात (और कई अन्य जिज्ञासु वस्तुओं, वास्तव में!) के प्रशंसक थे। मोना लिसा की अद्भुत सुंदरता इस तथ्य के कारण हो सकती है कि उसका चेहरा और शरीर जीवन में वास्तविक मानव चेहरों की तरह ही सुनहरे अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अलावा, लियोनार्डो दा विंची के द लास्ट सपर में संख्याओं को सुनहरे अनुपात में उपयोग किए जाने वाले क्रम में व्यवस्थित किया गया है। यदि आप कैनवास पर सुनहरे आयत बनाते हैं, तो यीशु केंद्रीय लोब में ठीक होगा।

लोगो डिजाइन में आवेदन

अप्रत्याशित रूप से, आप कई आधुनिक परियोजनाओं, विशेष रूप से डिजाइन में सुनहरे अनुपात का उपयोग पा सकते हैं। अभी के लिए, आइए इस पर ध्यान दें कि इसका उपयोग लोगो डिज़ाइन में कैसे किया जा सकता है। सबसे पहले, आइए दुनिया के कुछ सबसे प्रसिद्ध ब्रांडों पर एक नज़र डालते हैं जिन्होंने अपने लोगो को परिपूर्ण करने के लिए सुनहरे अनुपात का उपयोग किया है।

जाहिरा तौर पर, Apple ने Apple लोगो प्राप्त करने के लिए आकृतियों को जोड़ने और काटने के लिए फाइबोनैचि संख्याओं से मंडलियों का उपयोग किया। यह अज्ञात है कि यह जानबूझकर किया गया था या नहीं। हालांकि, परिणाम एक आदर्श और नेत्रहीन सौंदर्य लोगो डिजाइन है।

टोयोटा लोगो ए और बी के अनुपात का उपयोग करके एक ग्रिड बनाता है जो तीन रिंग बनाता है। ध्यान दें कि यह लोगो सुनहरे अनुपात को बनाने के लिए मंडलियों के बजाय आयतों का उपयोग कैसे करता है।

पेप्सी का लोगो दो इंटरसेक्टिंग सर्कल द्वारा बनाया गया है, जो एक दूसरे से बड़ा है। जैसा कि ऊपर की तस्वीर में दिखाया गया है, बड़ा वृत्त छोटे के संबंध में आनुपातिक है - आपने अनुमान लगाया! उनका नवीनतम गैर उभरा हुआ लोगो सरल, प्रभावी और सुंदर है!

माना जाता है कि टोयोटा और ऐप्पल के अलावा, बीपी, आईक्लाउड, ट्विटर और ग्रुपो बोटिकारियो जैसी कई अन्य कंपनियों के लोगो ने भी सुनहरे अनुपात का इस्तेमाल किया है। और हम सभी जानते हैं कि ये लोगो कितने प्रसिद्ध हैं - सभी क्योंकि छवि तुरंत स्मृति में आ जाती है!

यहां बताया गया है कि आप इसे अपनी परियोजनाओं में कैसे लागू कर सकते हैं

सुनहरे आयत को स्केच करें जैसा कि ऊपर पीले रंग में दिखाया गया है। यह सुनहरे अनुपात से संबंधित संख्याओं से ऊंचाई और चौड़ाई वाले वर्गों का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है। एक ब्लॉक से शुरू करें और दूसरे को उसके बगल में रखें। और दूसरा वर्ग, जिसका क्षेत्रफल उन दोनों के बराबर हो, उनके ऊपर रखें। आपको अपने आप 3 ब्लॉक का साइड मिल जाएगा। इस 3-ब्लॉक संरचना के निर्माण के बाद, आप 5 क्वाड के एक किनारे के साथ समाप्त हो जाएंगे जिसका उपयोग एक और (5-ब्लॉक क्षेत्र) बॉक्स बनाने के लिए किया जा सकता है। यह तब तक चल सकता है जब तक आप चाहें तब तक जब तक आपको वह आकार न मिल जाए जिसकी आपको आवश्यकता है!

आयत किसी भी दिशा में आगे बढ़ सकता है। छोटे आयतों का चयन करें और प्रत्येक का उपयोग एक लेआउट बनाने के लिए करें जो लोगो डिजाइन ग्रिड के रूप में काम करेगा।

यदि लोगो अधिक गोल है, तो आपको सुनहरे आयत के एक गोलाकार संस्करण की आवश्यकता होगी। आप इसे फाइबोनैचि संख्याओं के समानुपाती वृत्त खींचकर प्राप्त कर सकते हैं। केवल मंडलियों का उपयोग करके एक सुनहरा आयत बनाएं (इसका मतलब है कि सबसे बड़े सर्कल का व्यास 8 होगा, जबकि छोटे सर्कल का व्यास 5 होगा, और इसी तरह)। अब इन मंडलियों को अलग करें और उन्हें जगह दें ताकि आप अपने लोगो के लिए मुख्य रूपरेखा तैयार कर सकें। ट्विटर लोगो का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

ध्यान दें:आपको सुनहरे अनुपात के सभी वृत्त या आयत बनाने की ज़रूरत नहीं है। आप एक ही आकार का एक से अधिक बार उपयोग भी कर सकते हैं।

इसे टेक्स्ट डिज़ाइन में कैसे लागू करें

लोगो डिजाइन करने की तुलना में यह आसान है। पाठ में सुनहरे अनुपात को लागू करने का एक सरल नियम यह है कि बाद के बड़े या छोटे पाठ को फी से मेल खाना चाहिए। आइए इस उदाहरण पर एक नज़र डालें:

अगर मेरा फॉन्ट साइज 11 है, तो सबटाइटल बड़े फॉन्ट में लिखा जाना चाहिए। मैं बड़ी संख्या (11 * 1.6 = 17) प्राप्त करने के लिए पाठ के फ़ॉन्ट को सुनहरे अनुपात की संख्या से गुणा करता हूं। तो उपशीर्षक 17 फ़ॉन्ट आकार में लिखा जाना चाहिए। और अब शीर्षक या शीर्षक। मैं उपशीर्षक को अनुपात से गुणा करता हूं और 27 (1 * 1.6 = 27) प्राप्त करता हूं। ऐशे ही! आपका पाठ अब सुनहरे अनुपात के समानुपाती है।

इसे वेब डिज़ाइन में कैसे लागू करें

और यहाँ यह थोड़ा और कठिन है। आप वेब डिज़ाइन में भी सुनहरे अनुपात पर खरे रह सकते हैं। यदि आप एक अनुभवी वेब डिज़ाइनर हैं, तो आप पहले ही अनुमान लगा चुके हैं कि इसे कहाँ और कैसे लागू किया जा सकता है। हां, हम सुनहरे अनुपात का अच्छा उपयोग कर सकते हैं और इसे अपने वेब पेज ग्रिड और यूआई लेआउट पर लागू कर सकते हैं।

ग्रिड की कुल पिक्सेल संख्या को चौड़ाई या ऊँचाई के रूप में लें और उसका उपयोग एक सुनहरा आयत बनाने के लिए करें। छोटी संख्या प्राप्त करने के लिए सबसे बड़ी चौड़ाई या लंबाई को विभाजित करें। यह आपकी मुख्य सामग्री की चौड़ाई या ऊंचाई हो सकती है। जो बचा है वह साइडबार हो सकता है (या अगर आपने इसे ऊंचाई पर लगाया है तो बॉटमबार)। अब इसे विंडोज़, बटन, पैनल, इमेज और टेक्स्ट पर लागू करने के लिए गोल्डन रेक्टेंगल का उपयोग करते रहें। गोल्डन आयत के समानुपाती छोटे UI ऑब्जेक्ट बनाने के लिए आप क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से गोल्डन आयत के छोटे संस्करणों के आधार पर एक पूर्ण जाल भी बना सकते हैं। अनुपात प्राप्त करने के लिए आप इस कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

कुंडली

आप अपनी साइट पर सामग्री कहां रखें यह निर्धारित करने के लिए आप गोल्डन स्पाइरल का उपयोग कर सकते हैं। यदि आपका होम पेज ग्राफिक सामग्री से भरा हुआ है, जैसे कि ऑनलाइन स्टोर या फोटोग्राफी ब्लॉग के लिए वेबसाइट, तो आप गोल्डन स्पाइरल पद्धति का उपयोग कर सकते हैं जिसका उपयोग कई कलाकार अपने काम में करते हैं। सबसे मूल्यवान सामग्री को सर्पिल के केंद्र में रखने का विचार है।

समूहीकृत सामग्री को सुनहरे आयत का उपयोग करके भी रखा जा सकता है। इसका मतलब यह है कि सर्पिल केंद्रीय वर्गों (एक वर्ग ब्लॉक) के जितना करीब होता है, सामग्री उतनी ही "घनी" होती है।

आप इस तकनीक का उपयोग अपने हेडर, छवियों, मेनू, टूलबार, खोज बॉक्स और अन्य तत्वों के स्थान को चिह्नित करने के लिए कर सकते हैं। ट्विटर न केवल लोगो डिज़ाइन में सुनहरे आयत के उपयोग के लिए प्रसिद्ध है, बल्कि इसे वेब डिज़ाइन में भी शामिल किया गया है। कैसे? उपयोगकर्ता प्रोफ़ाइल पृष्ठ में स्वर्ण आयत, या दूसरे शब्दों में स्वर्ण सर्पिल अवधारणा के उपयोग के माध्यम से।

लेकिन सीएमएस प्लेटफॉर्म पर ऐसा करना आसान नहीं होगा जहां सामग्री के लेखक वेब डिजाइनर के बजाय लेआउट को परिभाषित करते हैं। सुनहरा अनुपात वर्डप्रेस और अन्य ब्लॉग डिजाइनों के अनुकूल है। ऐसा शायद इसलिए है क्योंकि ब्लॉग डिज़ाइन में साइडबार लगभग हमेशा मौजूद होता है, जो सुनहरे आयत में अच्छी तरह फिट बैठता है।

एक आसान तरीका

बहुत बार, डिजाइनर जटिल गणित को छोड़ देते हैं और तथाकथित "तिहाई का नियम" लागू करते हैं। यह क्षेत्र को क्षैतिज और लंबवत रूप से तीन बराबर भागों में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। परिणाम नौ बराबर भागों है। चौराहे की रेखा का उपयोग आकृति और डिजाइन के केंद्र बिंदु के रूप में किया जा सकता है। आप मुख्य विषय या मुख्य तत्वों को एक या सभी केंद्र बिन्दुओं पर रख सकते हैं। फोटोग्राफर भी इस अवधारणा का उपयोग पोस्टरों के लिए करते हैं।

आयतें 1:1.6 के अनुपात के जितने करीब होती हैं, मानव मस्तिष्क द्वारा उतनी ही सुखद तस्वीर देखी जाती है (क्योंकि यह सुनहरे अनुपात के करीब है)।

एक व्यक्ति अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार से अलग करता है। किसी वस्तु के रूप में रुचि जीवन की आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। रूप, जो समरूपता और सुनहरे खंड के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा भाग होते हैं, विभिन्न आकारों के भाग एक दूसरे से और संपूर्ण के साथ एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

स्वर्ण अनुपात - हार्मोनिक अनुपात

रेखा खंड अबनिम्नलिखित तरीकों से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

दो बराबर भागों में अब : एसी = अब : रवि;





किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते हैं);





तो कब अब : एसी = एसी : रवि.

सुनहरा खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें पूरा खंड बड़े हिस्से से उसी तरह संबंधित होता है जैसे बड़ा हिस्सा छोटे हिस्से से संबंधित होता है; या दूसरे शब्दों में, छोटा खंड बड़े से संबंधित है क्योंकि बड़ा खंड हर चीज से संबंधित है

ए : बी = बी : सीया साथ : बी = बी : ए.

चावल। एक।सुनहरे अनुपात का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक सीधी रेखा खंड को एक कम्पास और शासक का उपयोग करके सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

चावल। 2.सुनहरे अनुपात के अनुसार एक रेखा खंड का विभाजन। ईसा पूर्व = 1/2 अब; सीडी = ईसा पूर्व

एक बिंदु से वीएक लंबवत आधे के बराबर बहाल किया जाता है अब. प्राप्त बिंदु साथएक रेखा से एक बिंदु से जुड़ा ए. परिणामी रेखा पर एक खंड खींचा जाता है रवि, एक बिंदु के साथ समाप्त डी. अनुभाग विज्ञापनएक सीधी रेखा में स्थानांतरित अब. परिणामी बिंदु इखंड को विभाजित करता है अबसुनहरे अनुपात में।

सुनहरे अनुपात के खंड एक अनंत अपरिमेय भिन्न द्वारा व्यक्त किए जाते हैं ऐ= 0.618... अगर अबएक इकाई के रूप में ले लो होना\u003d 0.382 ... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मूल्यों का अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि खंड अब 100 भागों के रूप में लिया जाता है, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 है, और छोटा 38 भाग है।

स्वर्ण खंड के गुण समीकरण द्वारा वर्णित हैं:

एक्स 2 - एक्स - 1 = 0.

इस समीकरण का हल:

स्वर्ण खंड के गुणों ने इस संख्या के आसपास रहस्य और लगभग रहस्यमय पूजा की एक रोमांटिक आभा पैदा की।

दूसरा सुनहरा अनुपात

ऐसा अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है, और एक लम्बी क्षैतिज प्रारूप की छवियों की रचनाओं के निर्माण में भी होता है।

चावल। 3.दूसरे स्वर्ण खंड का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है (चित्र 3 देखें)। अनुभाग अबसुनहरे अनुपात के अनुसार बांटा गया है। एक बिंदु से साथलंबवत बहाल है सीडी. RADIUS अबएक बिंदु है डी, जो एक रेखा द्वारा एक बिंदु से जुड़ा होता है ए. समकोण एसीडीआधे में बांटा गया है। एक बिंदु से साथएक रेखा तब तक खींची जाती है जब तक कि वह एक रेखा से प्रतिच्छेद न कर दे विज्ञापन. दूरसंचार विभाग इखंड को विभाजित करता है विज्ञापन 56:44 के संबंध में।

चावल। 4.दूसरे सुनहरे अनुपात की एक रेखा द्वारा एक आयत का विभाजन

अंजीर पर। 4 दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह गोल्डन सेक्शन लाइन और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिकोण

चावल। 5.एक नियमित पेंटागन और पेंटाग्राम का निर्माण

एक पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की जरूरत है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर (1471...1528) द्वारा विकसित की गई थी। होने देना हे- सर्कल का केंद्र ए- वृत्त पर एक बिंदु और इ- खंड के मध्य ओए. त्रिज्या के लंबवत ओए, बिंदु पर बहाल हे, वृत्त को एक बिंदु पर काटती है डी. एक कंपास का उपयोग करके, व्यास पर एक खंड को अलग रखें सीई = ईडी. एक वृत्त में अंकित एक नियमित पंचभुज की भुजा की लंबाई है डीसी. वृत्त पर खंड लगाना डीसीऔर एक नियमित पेंटागन बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करें। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36° का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।

चावल। 6.स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

हम एक सीधी रेखा खींचते हैं अब. बिंदु से एउस पर तीन बार एक खंड बिछाएं हेपरिणामी बिंदु के माध्यम से मनमाना मूल्य आररेखा पर एक लंबवत खींचें अब, बिंदु के दाएं और बाएं लंबवत पर आरखंड अलग सेट करें हे. प्राप्त अंक डीतथा डी 1 एक बिंदु से सीधी रेखाओं से जुड़ें ए. अनुभाग डीडी 1 लाइन पर अलग सेट करें विज्ञापन 1, एक अंक प्राप्त करना साथ. उसने रेखा को विभाजित किया विज्ञापन 1 सुनहरे अनुपात के अनुपात में। पंक्तियां विज्ञापन 1 और डीडी 1 का उपयोग "गोल्डन" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

स्वर्ण खंड का इतिहास

यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। यहां तक ​​कि ज्यामितीय आकृतियों की मदद से उनके बच्चों को अंकगणित भी पढ़ाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग के विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

चावल। 7.गतिशील आयत

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) भी स्वर्ण विभाजन के बारे में जानता था। उनका संवाद "तिमाईस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों के लिए समर्पित है, और विशेष रूप से, गोल्डन डिवीजन के प्रश्नों के लिए।

पार्थेनन के प्राचीन ग्रीक मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान, परकार मिले, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कंपास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी सुनहरे विभाजन के अनुपात शामिल हैं।

चावल। आठ।प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे पास आया है, यूक्लिड के तत्वों में सबसे पहले स्वर्ण विभाजन का उल्लेख किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में गोल्डन डिवीजन का एक ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य स्वर्ण विभाजन के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में स्वर्णिम विभाजन के साथ हम यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवादों के माध्यम से मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। गोल्डन डिवीजन के रहस्यों को सख्त गोपनीयता में रखा गया था, ईर्ष्या से पहरा दिया गया था। वे केवल दीक्षितों के लिए जाने जाते थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला दोनों में इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच स्वर्ण विभाजन में रुचि बढ़ी, विशेष रूप से वास्तुकला में एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन थोड़ा ज्ञान था . उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक पुस्तक लिखना शुरू किया, लेकिन उस समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक पुस्तक दिखाई दी, और लियोनार्डो ने अपने विचार को त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक प्रकाशक थे, जो इटली में फिबोनाची और गैलीलियो के बीच सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसीओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का का छात्र था, जिसने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक को पेंटिंग में ऑन पर्सपेक्टिव कहा जाता था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह वाकिफ थे। 1496 में, ड्यूक ऑफ मोरो के निमंत्रण पर, वे मिलान आए, जहां उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पसिओली का डिवाइन प्रोपोर्शन वेनिस में प्रकाशित हुआ था, जिसमें शानदार ढंग से निष्पादित चित्र थे, यही वजह है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया माना जाता है। पुस्तक स्वर्ण अनुपात के लिए एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों में, भिक्षु लुका पैसीओली ने अपने "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने में विफल नहीं किया (यह समझा गया था कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण खंड - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंची ने भी स्वर्ण विभाजन के अध्ययन पर बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पेंटागन द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक बॉडी के सेक्शन बनाए, और हर बार उन्होंने गोल्डन डिवीजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस विभाग को नाम दिया सुनहरा अनुपात. तो यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है।

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। वह अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय देता है। ड्यूरर लिखते हैं। "यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। यही मैंने करने का निश्चय किया।"

ड्यूरर के पत्रों में से एक को देखते हुए, वह इटली में रहने के दौरान लुका पसिओली से मिले। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में स्वर्ण खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्यमा उंगलियों की युक्तियों के माध्यम से खींची गई रेखा, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह से, आदि। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं शताब्दी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर ने स्वर्ण अनुपात को ज्यामिति के खजाने में से एक कहा। उन्होंने वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए स्वर्ण अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्वयं जारी रहने का नाम दिया। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है," कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम शब्द, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो दें अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

सुनहरे अनुपात के खंडों की एक श्रृंखला का निर्माण वृद्धि (बढ़ती श्रृंखला) और घटती (अवरोही श्रृंखला) की दिशा में दोनों दिशा में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम, एक खंड को अलग रखें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं

चावल। 9.सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

बाद की शताब्दियों में, स्वर्ण अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, संघर्ष की गर्मी में, अकादमिक दिनचर्या के साथ कला में संघर्ष शुरू हुआ, "उन्होंने बच्चे को पानी से बाहर फेंक दिया।" 19वीं शताब्दी के मध्य में स्वर्ण खंड को फिर से "खोजा" गया था। 1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। Zeising के साथ, वास्तव में जो हुआ वह शोधकर्ता के साथ होना तय था जो अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना घटना को ऐसा मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए स्वर्ण खंड के अनुपात को पूर्ण किया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के अपने सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया।

चावल। 10.मानव शरीर के कुछ हिस्सों में सुनहरा अनुपात

ज़ीसिंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि सुनहरा अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु से शरीर का विभाजन स्वर्णिम अनुपात का सबसे महत्वपूर्ण संकेतक है। पुरुष शरीर का अनुपात 13: 8 = 1.625 के औसत अनुपात में उतार-चढ़ाव करता है और महिला शरीर के अनुपात की तुलना में कुछ हद तक सुनहरे अनुपात के करीब पहुंचता है, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मूल्य 8: 5 के अनुपात में व्यक्त किया जाता है। = 1.6. एक नवजात शिशु में अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर होता है। स्वर्ण खंड का अनुपात शरीर के अन्य भागों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रभाग और हाथ, हाथ और उंगलियां आदि।

चावल। ग्यारह।मानव आकृति में स्वर्ण अनुपात

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षी के अंडे, संगीतमय स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीजिंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई को व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फिबोनाची श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे अनिश्चित काल तक एक दिशा और दूसरी दिशा में जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में मूल रूपात्मक नियम के रूप में स्वर्ण विभाजन।" 1876 ​​​​में, एक छोटी किताब, लगभग एक पुस्तिका, रूस में प्रकाशित हुई थी, जिसमें ज़ीसिंग के काम की रूपरेखा थी। लेखक ने आद्याक्षर यू.एफ.वी. इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।

XIX के अंत में - XX सदियों की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में सुनहरे खंड के उपयोग के बारे में बहुत सारे औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिजाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, स्वर्ण अनुपात के नियम का विस्तार कारों, फर्नीचर आदि के डिजाइन तक हो गया।

फाइबोनैचि श्रृंखला

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि संख्याओं की एक श्रृंखला। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसके प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो 2 + 3 = 5 के योग के बराबर है; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्ण विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34 = 0.617, और 34:55 = 0.618। इस रिश्ते का प्रतीक है एफ. केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का एक निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या कमी अनंत तक, जब छोटा खंड बड़े से संबंधित होता है, जैसा कि बड़ा हर चीज के लिए होता है।

फाइबोनैचि ने व्यापार की व्यावहारिक जरूरतों से भी निपटा: किसी वस्तु को तौलने के लिए इस्तेमाल किए जा सकने वाले वजन की सबसे छोटी संख्या क्या है? फाइबोनैचि साबित करता है कि वजन की निम्नलिखित प्रणाली इष्टतम है: 1, 2, 4, 8, 16...

सामान्यीकृत सुनहरा अनुपात

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे अनुपात के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू। मतियासेविच फिबोनाची संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, खेल, प्रोग्रामिंग) को हल करने के लिए सुरुचिपूर्ण तरीके हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

इस क्षेत्र की उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्याओं और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपातों की खोज है।

फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और उनके द्वारा खोजे गए वजन 1, 2, 4, 8, 16 की "बाइनरी" श्रृंखला... पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उनके निर्माण के लिए एल्गोरिदम एक दूसरे के समान हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या के योग के साथ 2 = 1 + 1 है; 4 \u003d 2 + 2 ..., दूसरे में - यह दो पिछली संख्याओं का योग है 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... क्या यह संभव है एक सामान्य गणितीय सूत्र खोजने के लिए जिसमें से "द्विआधारी श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?

दरअसल, आइए संख्यात्मक पैरामीटर सेट करें एस, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... एक संख्या श्रृंखला पर विचार करें, एस+ 1 जिसका पहला पद इकाइयाँ हैं, और प्रत्येक बाद वाला पिछले एक के दो पदों के योग के बराबर है और एक जो पिछले एक से अलग किया गया है एसकदम। अगर एनहम इस श्रृंखला के वें पद को φ S से निरूपित करते हैं ( एन), तो हम सामान्य सूत्र प्राप्त करते हैं एस ( एन) = एस ( एन- 1) + एस ( एन - एस - 1).

यह स्पष्ट है कि एस= 0 इस सूत्र से हमें एक "बाइनरी" श्रंखला मिलती है, जिसमें एस= 1 - फाइबोनैचि श्रृंखला, के साथ एस\u003d 2, 3, 4. संख्याओं की नई श्रृंखला जिसे कहा जाता है एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

आम तौर पर सोना एस-अनुपात स्वर्ण समीकरण का धनात्मक मूल है एस-सेक्शन x S+1 - x S - 1 = 0.

यह दिखाना आसान है कि जब एस= 0, हमें खंड का आधा भाग मिलता है, और जब एस= 1 - परिचित शास्त्रीय स्वर्ण अनुपात।

पड़ोसियों के रिश्ते एस- पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ फाइबोनैचि संख्याएं गोल्डन के साथ सीमा में मेल खाती हैं एस-अनुपात! ऐसे मामलों में गणितज्ञ कहते हैं कि सोना एस-सेक्शन संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं एस-फाइबोनैचि संख्याएं।

सोने के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य एसप्रकृति में खंड, बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ़ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984) पुस्तक में सोरोको। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण होते हैं (थर्मली स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) केवल तभी जब प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से संबंधित होते हैं। सोने में से एक द्वारा एस-अनुपात। इसने लेखक को एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति दी कि सोना एस-सेक्शन स्व-आयोजन प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि की जा रही है, यह परिकल्पना सहक्रिया विज्ञान के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है - विज्ञान का एक नया क्षेत्र जो स्वयं-आयोजन प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करता है।

गोल्डन कोड के साथ एस-अनुपात किसी भी वास्तविक संख्या को सोने की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त कर सकते हैं एसपूर्णांक गुणांक के साथ अनुपात।

संख्याओं को कूटने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे हैं एस-अनुपात, एस> 0 अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणाली, जैसा कि यह थी, ने ऐतिहासिक रूप से स्थापित परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के पदानुक्रम को "उल्टा" कर दिया। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में - पाइथागोरस द्वारा अतुलनीय खंडों की खोज के बाद - अपरिमेय संख्याएँ दिखाई दीं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याएँ - 10, 5, 2 - को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था, जिसमें से अन्य सभी प्राकृतिक संख्याएँ, साथ ही परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ थीं। कुछ नियमों के अनुसार निर्मित।

नंबरिंग के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय प्रणाली है, मूल सिद्धांत के रूप में, जिसकी शुरुआत को एक अपरिमेय संख्या के रूप में चुना जाता है (जिसे, हमें याद है, गोल्डन सेक्शन समीकरण की जड़ है); अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले ही व्यक्त की जा चुकी हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, कोई भी प्राकृत संख्या हमेशा एक परिमित संख्या के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य होती है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! - किसी भी स्वर्ण की डिग्री का योग एस-अनुपात। यह एक कारण है कि "तर्कहीन" अंकगणित, अद्भुत गणितीय सादगी और लालित्य के साथ, शास्त्रीय बाइनरी और "फिबोनाची" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित करता है।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

खोल एक सर्पिल में मुड़ जाता है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। दस सेंटीमीटर के एक छोटे से खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। सर्पिल के बारे में न कहें तो सुनहरे अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।

चावल। 12.आर्किमिडीज का सर्पिल

सर्पिल रूप से घुमावदार खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल के समीकरण को घटाया। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।

यहां तक ​​कि गोएथे ने भी प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले देखी गई थी। पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में सूरजमुखी के बीज की व्यवस्था में सर्पिल देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का कानून स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाले को एक सर्पिल पैटर्न में घुमाती है। एक तूफान घूम रहा है। हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में बिखरा हुआ है। डीएनए अणु एक डबल हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

सड़क के किनारे जड़ी-बूटियों के बीच, एक अचूक पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इसे करीब से देखें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है।

चावल। तेरहकासनी

यह प्रक्रिया अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाती है, रुकती है, एक पत्ता छोड़ती है, लेकिन पहले की तुलना में पहले से ही छोटा है, फिर से अंतरिक्ष में एक इजेक्शन बनाता है, लेकिन कम बल के साथ, इससे भी छोटे आकार का एक पत्ता छोड़ता है और फिर से इजेक्शन करता है। यदि पहले आउटलेयर को 100 यूनिट के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 यूनिट है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय, पौधे ने कुछ अनुपात बनाए रखा। इसके विकास के आवेग धीरे-धीरे सुनहरे अनुपात के अनुपात में कम हो गए।

चावल। 14.विविपेरस छिपकली

एक छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात पर कब्जा कर लिया जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई 62 से 38 तक होती है।

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रूप-निर्माण की प्रवृत्ति लगातार टूटती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में सुनहरा अनुपात दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में, संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।

चावल। 15.पक्षी का अंडा

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह था जिसने आकृति विज्ञान शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में पेश किया था।

पियरे क्यूरी ने हमारी सदी की शुरुआत में समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना किसी भी शरीर की समरूपता पर विचार नहीं किया जा सकता है।

"गोल्डन" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और पूरे शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क के कामकाज और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

स्वर्ण अनुपात और समरूपता

स्वर्ण विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। आधुनिक अवधारणाओं के अनुसार, स्वर्ण विभाजन एक असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में ऐसी अवधारणाएँ शामिल हैं: स्थिरतथा गतिशील समरूपता. स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन और गतिशील समरूपता की विशेषता है जो गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थिर समरूपता को क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शाया जाता है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, आंदोलन, विकास, लय की विशेषता है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थिर समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है।