5. मैक्सवेल का वितरण (वेग द्वारा गैस के अणुओं का वितरण) और बोल्ट्जमैन का मैक्सवेल का वितरण - एक संतुलन अवस्था में, गैस पैरामीटर (दबाव, आयतन और तापमान) अपरिवर्तित रहते हैं, हालांकि, माइक्रोस्टेट - अणुओं की पारस्परिक व्यवस्था, उनके

कॉची

टीएसबी लेखक

कॉची वितरण

कौची प्रमेय

ऑगस्टिन कॉची

ऑगस्टिन कॉची 19वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में, अंतत: इनफिनिटिमल के विश्लेषण के लिए एक स्पष्ट आधार तैयार किया गया था। इस समस्या का समाधान कॉची द्वारा शुरू किया गया था और वीयरस्ट्रैस द्वारा पूरा किया गया था। बर्नार्ड बोलजानो ने भी निरंतर कार्यों पर अपने काम के साथ एक महत्वपूर्ण योगदान दिया जो आगे जाते हैं

यूलर, कॉची और गणित का सौंदर्य मूल्य

यूलर, कॉची और गणित के सौंदर्य मूल्य हमें सौंदर्य सिद्धांत के बारे में भी बात करनी चाहिए, क्योंकि, कई लोगों की राय के विपरीत, सौंदर्यशास्त्र न केवल गणित के लिए विदेशी है, बल्कि इसका एक महत्वपूर्ण हिस्सा भी है। इस अध्याय का शीर्षक - "टेम्ड इनफिनिटसिमल" - इंगित करता है कि

ऐसा प्रतीत होता है कि यादृच्छिक चरों के वर्णन और मॉडलिंग के लिए कॉची वितरण बहुत आकर्षक लगता है। हालांकि, हकीकत में ऐसा नहीं है। कॉची वितरण के गुण गाऊसी, लाप्लास और अन्य घातीय वितरणों से काफी भिन्न हैं।

मुद्दा यह है कि कॉची वितरण बेहद सपाट है। हमें याद है कि एक वितरण को अत्यंत समतल कहा जाता है, यदि x -> + oo के रूप में, इसकी प्रायिकता घनत्व

कॉची वितरण के लिए, वितरण का पहला प्रारंभिक क्षण भी मौजूद नहीं है, यानी गणितीय अपेक्षा, क्योंकि अभिन्न परिभाषित करने से यह अलग हो जाता है। इस स्थिति में, बंटन में माध्यिका और बहुलक दोनों होते हैं, जो कि पैरामीटर a के बराबर होते हैं।

बेशक, इस वितरण का विचरण (दूसरा केंद्रीय क्षण) भी अनंत के बराबर है। व्यवहार में, इसका मतलब है कि कॉची वितरण से नमूने के लिए भिन्नता अनुमान डेटा की मात्रा में वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ेगा।

यह ऊपर से निम्नानुसार है कि यादृच्छिक प्रक्रियाओं के कॉची वितरण द्वारा सन्निकटन, जो कि परिमित गणितीय अपेक्षा और परिमित विचरण की विशेषता है, अवैध है।

इसलिए, हमने तीन मापदंडों के आधार पर एक सममित वितरण प्राप्त किया है, जिसका उपयोग यादृच्छिक चर के नमूनों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें कोमल ढलान वाले भी शामिल हैं। हालांकि, इस वितरण में नुकसान हैं जिन्हें कॉची वितरण पर चर्चा करते समय माना जाता था, अर्थात्, गणितीय अपेक्षा केवल एक> 1 के लिए मौजूद है, भिन्नता केवल ओएस> 2 के लिए सीमित है, और सामान्य तौर पर, केटी ऑर्डर वितरण का अंतिम क्षण मौजूद है एक> के लिए ...

चित्र 14.1 ज्ञात कॉची वितरण से 8,000 नमूनों का उपयोग करता है, जिसमें अनंत माध्य और विचरण होता है। कॉची वितरण को नीचे और अधिक विस्तार से वर्णित किया गया है। यहां प्रयुक्त श्रृंखला को माध्य घटाकर और नमूना मानक विचलन से विभाजित करके "सामान्यीकृत" किया गया है। इस प्रकार, सभी इकाइयों को मानक विचलन में व्यक्त किया जाता है। तुलना के लिए, हम 8,000 गाऊसी यादृच्छिक चर का उपयोग करते हैं, जिन्हें समान रूप से सामान्यीकृत किया गया है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि अगले दो चरण हमेशा 0 के माध्य और 1 के मानक विचलन के साथ समाप्त होंगे क्योंकि उन्हें इन मानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। अभिसरण का अर्थ है कि एक समय श्रृंखला तेजी से स्थिर मूल्य की ओर बढ़ रही है।

इन दो प्रसिद्ध वितरणों, कॉची वितरण और सामान्य वितरण, के कई उपयोग हैं। वे स्थिर वितरण के परिवार के केवल दो सदस्य हैं जिनके लिए संभाव्यता घनत्व कार्यों को स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है। अन्य सभी भिन्नात्मक मामलों में, उनका अनुमान लगाया जाना चाहिए, आमतौर पर संख्यात्मक तरीकों से। हम इस अध्याय के बाद के भाग में इनमें से किसी एक विधि पर चर्चा करेंगे।

अध्याय 14 में, हमने अमेरिकी शेयर बाजार के अनुक्रमिक मानक विचलन और माध्य की जांच की और इसकी तुलना कॉची वितरण से प्राप्त समय श्रृंखला से की। हमने एक समय श्रृंखला पर अनंत विचरण और माध्य के प्रभाव को देखने के लिए ऐसा किया। जब हम जोड़ते हैं तो लगातार मानक विचलन समय श्रृंखला का मानक विचलन होता है

कौची और गाऊसी बंटन की मात्राओं का भारित माध्य F लेकर Z से u (o, F) का पहला सन्निकटन करें।

तालिका A3.2 तालिका A3.1 के परिणामों को मात्राओं में परिवर्तित करती है। यह पता लगाने के लिए कि F का कौन-सा मान a = 1.0 के लिए 99 प्रतिशत प्रेक्षणों की व्याख्या करता है, F कॉलम को बाईं ओर 0.99 पर ले जाएँ और मान u = 31.82 पर ले जाएँ। कॉची वितरण में 99 प्रतिशत संभावना को कवर करने के लिए माध्य से 31.82 अवलोकनों की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, सामान्य स्थिति u = 3.29 पर 99 प्रतिशत तक पहुंच जाती है। यह मानक सामान्य स्थिति से भिन्न है, जो कि 2.326 मानक विचलन है, न कि 3.29 इकाई s।

P (> (ntg) 1/2T (n/2) n जब n = 1, संगत वितरण को कॉची वितरण कहा जाता है।

यदि कोई श्रृंखला व्यापक अर्थों में स्थिर है, तो जरूरी नहीं कि वह सख्ती से स्थिर हो। साथ ही, एक सख्ती से स्थिर श्रृंखला व्यापक अर्थों में स्थिर नहीं हो सकती है, क्योंकि इसमें गणितीय अपेक्षा और/या भिन्नता नहीं हो सकती है। (बाद के लिए, एक उदाहरण कॉची वितरण से एक यादृच्छिक नमूना है।) इसके अलावा, स्थितियां संभव हैं जब ये तीन शर्तें पूरी होती हैं, लेकिन, उदाहरण के लिए, ई (एक्स) टी पर निर्भर करता है।

उसी समय, सामान्य स्थिति में, भले ही कुछ यादृच्छिक चर X,। .., X परस्पर स्वतंत्र हैं और उनका वितरण समान है, इसका मतलब यह नहीं है कि वे एक सफेद शोर प्रक्रिया बनाते हैं, क्योंकि एक यादृच्छिक चर Xt में कोई गणितीय अपेक्षा और / या भिन्नता नहीं हो सकती है (उदाहरण के लिए, हम फिर से कॉची वितरण को इंगित कर सकते हैं)।

कोष, दो या दो से अधिक कारक, उदाहरण के लिए, श्रम और भौतिक संपत्ति, माल के उत्पादन और सेवाओं के प्रावधान में भाग लेते हैं, साथ ही बाद में नकद प्राप्तियों के गठन में, कारकों के अनुसार उत्तरार्द्ध का तार्किक वितरण प्रतीत होता है आम तौर पर असंभव। इसका उद्देश्य उन संपत्तियों से मेल खाना था जिनका उपयोग किया जा सकता था, शुद्ध सीमांत राजस्व, लेकिन निजी सीमांत राजस्व का योग उत्पादों और सेवाओं की बिक्री से कुल शुद्ध आय से अधिक हो सकता है।

इस तरह के लंबे-पूंछ वाले वितरण, विशेष रूप से पारेतो डेटा में, लेवी (1937), एक फ्रांसीसी गणितज्ञ, ने एक सामान्यीकृत घनत्व फ़ंक्शन तैयार करने के लिए नेतृत्व किया, जिसमें सामान्य वितरण विशेष मामले थे, साथ ही साथ कॉची वितरण भी थे। लेवी ने सेंट्रल लिमिट थ्योरम के सामान्यीकृत संस्करण का इस्तेमाल किया। ये वितरण प्राकृतिक घटनाओं के एक बड़े वर्ग के अनुरूप हैं, लेकिन उनकी असामान्य और समस्याओं को हल करने में मुश्किल होने के कारण उन्हें ज्यादा ध्यान नहीं मिला है। उनके असामान्य गुण उन्हें अलोकप्रिय बना रहे हैं; हालांकि, उनकी अन्य संपत्तियां पूंजी बाजार में हमारे परिणामों के इतने करीब हैं कि हमें उनकी जांच करनी चाहिए। इसके अलावा, स्थिर लेवी वितरण अशांत प्रवाह और एल / एफ शोर के सांख्यिकीय गुणों का वर्णन करने में उपयोगी पाए गए हैं - और वे फ्रैक्टल भी हैं।

चित्र 14.2 (ए) उन दो पंक्तियों के लिए लगातार मानक विचलन दिखाता है। सीरियल मानक विचलन, सीरियल माध्य की तरह, मानक विचलन की गणना है क्योंकि अवलोकनों को एक बार में जोड़ा जाता है। इस मामले में, अंतर और भी अधिक हड़ताली है। यादृच्छिक आयु जल्दी से मानक विचलन 1 में परिवर्तित हो जाती है। दूसरी ओर, कॉची वितरण, कभी भी अभिसरण नहीं करता है। इसके बजाय, यह कई बड़े आंतरायिक छलांग और 1 के सामान्यीकृत मूल्य से बड़े विचलन की विशेषता है।

यह कॉची वितरण के लिए विशेषता फ़ंक्शन का लघुगणक है, जिसे अनंत विचरण और माध्य के लिए जाना जाता है। इस मामले में, 8 वितरण का माध्यिका बन जाता है, और c - सात-अंतःचतुर्थक श्रेणी।

होल्ट एंड रो (1973) ने 0.25 - 2.00 और P के लिए -1.00 से +1.00 के बराबर, 0.25 वेतन वृद्धि में एक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन पाया। उन्होंने जिस पद्धति का उपयोग किया, वह ज्ञात वितरणों, जैसे कि कॉची और सामान्य वितरण, और ज़ोलोटेरेव के काम से अभिन्न प्रतिनिधित्व (ज़ोलोटेरेव, 1964/1966) के बीच प्रक्षेपित किया गया। पूर्व के लिए तैयार टेबल

जैसा कि हमने अध्याय 14 में चर्चा की, स्थिर वितरण के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति केवल सामान्य और कॉची वितरण के विशेष मामलों के लिए मौजूद हैं। हालांकि, बर्गस्ट्रॉम (1952) ने एक श्रृंखला विस्तार विकसित किया जिसका उपयोग फैमे और रोल कई अल्फा मानों के लिए घनत्व का अनुमान लगाने के लिए करते थे। जब a> 1.0, वे अगली अभिसरण श्रृंखला प्राप्त करने के लिए बर्गस्ट्रॉम के परिणामों का उपयोग कर सकते हैं

कॉची वितरण, घनत्व वाले यादृच्छिक चर X का संभाव्यता वितरण

कहाँ -< μ < ∞ и λ>0 - पैरामीटर। बिंदु x = μ के संबंध में कॉची वितरण एकरूप और सममित है, जो इस वितरण का मोड और माध्यिका है [आंकड़े a और b घनत्व p (x; , μ) और संबंधित वितरण फ़ंक्शन F के ग्राफ़ दिखाते हैं। (x; , μ) μ = 1, 5 और = 1] के लिए। वितरण की कॉची अपेक्षा मौजूद नहीं है। वितरण का अभिलक्षणिक कॉची फलन e iμt - | t | . के बराबर है , -< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X 1, ..., X n में समान कॉची वितरण है, तो उनका अंकगणितीय माध्य (X 1 + ... + X n) / n किसी भी n = 1,2, ... के लिए समान है वितरण; इस तथ्य की स्थापना एस. पॉइसन (1830) ने की थी। कॉची वितरण एक स्थिर वितरण है। मानक सामान्य वितरण के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y के अनुपात X / Y में पैरामीटर 0 और 1 के साथ कॉची वितरण है। यादृच्छिक चर Z के स्पर्शरेखा तन Z का वितरण, अंतराल पर समान वितरण के साथ [-π / 2, π / 2 ], पैरामीटर 0 और 1 के साथ कॉची वितरण भी है। कॉची वितरण पर ओ. कॉची (1853) द्वारा विचार किया गया था।