Найти функцию бесселя примеры с решением. Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебе

Порядков.

Хотя $\backslash alpha$ и $(-\backslash alpha)$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\backslash alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J\_\backslash alpha(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$ при целых или неотрицательных $\backslash alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\backslash alpha$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_\{m=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^m\}\{m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alpha+1)\}\; \{\backslash left(\{\backslash frac\{x\}\{2\}\}\backslash right)\}^\{2m+\backslash alpha\}$

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alpha(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alpha(x).$

Ниже приведён график $Y\_\backslash alpha\; (x)$ для $\backslash alpha\; =\; 0$, 1 и 2:

Свойства

Ортогональность

Пусть $\backslash mu\_1$ и $\backslash mu\_2$ - нули функции Бесселя $J\_\{\backslash alpha\}(x)$. Тогда :

$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\{x\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_1\; x)\; J\_\{\backslash alpha\}(\backslash mu\_2\; x)\; dx\}\; =\; \backslash left\backslash \{\; \backslash begin\{matrix\}$

0 & \mbox{;}\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac{1}{2}(J"_{\alpha}(\mu_1))^2 & \mbox{;}\quad\mu_1=\mu_2

\end{matrix} \right. .

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных $\backslash alpha$ они выглядят так :

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash rightarrow\; \backslash frac\{1\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \backslash left(\backslash frac\{x\}\{2\}\; \backslash right)\; ^\backslash alpha\; ,$

\end{matrix} \right. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac\{(z/2)^\backslash alpha\}\{\backslash Gamma(\backslash alpha+1)\}\; \{\}\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Таким образом, при целых $\backslash alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых - многозначная аналитическая .

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:

$e^\{\backslash frac\{z\}\{2\}\backslash left(w-\backslash frac\{1\}\{w\}\backslash right)\}=\backslash sum\_\{n=-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}J\_n(z)w^n\; .$

Соотношения

Формула Якоби - Ангера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при $a=1$, $t=e^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash sin\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n\}(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; J\_\{2n-1\}(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

При $a=1$, $t=ie^\{i\backslash phi\}$:

$e^\{iz\backslash cos\backslash phi\}=J\_0(z)+2\backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Теорема сложения

Для любого целого $n$ и комплексных $z\_1$ и $z\_2$ выполняется

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_\{k=-\backslash infty\}^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_\{n-k\}(z\_2).$

Интегральные выражения

Для любых $a$ и $b$ (в том числе комплексных) выполняется

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{b^n\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}(\backslash sqrt\{a^2+b^2\}+a)^n\}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^\{-at\}J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{a^2+b^2\}\}.$

См. также

Напишите отзыв о статье "Функции Бесселя"

Примечания

Литература

• Ватсон Г. Теория бесселевых функций. - М .: ИЛ , 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. - М .: Наука , 1974. - 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М .: Наука , 1973. - 736 с.

Отрывок, характеризующий Функции Бесселя

В гостиной продолжался разговор.
– Ah! chere, – говорила графиня, – и в моей жизни tout n"est pas rose. Разве я не вижу, что du train, que nous allons, [не всё розы. – при нашем образе жизни,] нашего состояния нам не надолго! И всё это клуб, и его доброта. В деревне мы живем, разве мы отдыхаем? Театры, охоты и Бог знает что. Да что обо мне говорить! Ну, как же ты это всё устроила? Я часто на тебя удивляюсь, Annette, как это ты, в свои годы, скачешь в повозке одна, в Москву, в Петербург, ко всем министрам, ко всей знати, со всеми умеешь обойтись, удивляюсь! Ну, как же это устроилось? Вот я ничего этого не умею.
– Ах, душа моя! – отвечала княгиня Анна Михайловна. – Не дай Бог тебе узнать, как тяжело остаться вдовой без подпоры и с сыном, которого любишь до обожания. Всему научишься, – продолжала она с некоторою гордостью. – Процесс мой меня научил. Ежели мне нужно видеть кого нибудь из этих тузов, я пишу записку: «princesse une telle [княгиня такая то] желает видеть такого то» и еду сама на извозчике хоть два, хоть три раза, хоть четыре, до тех пор, пока не добьюсь того, что мне надо. Мне всё равно, что бы обо мне ни думали.
– Ну, как же, кого ты просила о Бореньке? – спросила графиня. – Ведь вот твой уже офицер гвардии, а Николушка идет юнкером. Некому похлопотать. Ты кого просила?
– Князя Василия. Он был очень мил. Сейчас на всё согласился, доложил государю, – говорила княгиня Анна Михайловна с восторгом, совершенно забыв всё унижение, через которое она прошла для достижения своей цели.
– Что он постарел, князь Василий? – спросила графиня. – Я его не видала с наших театров у Румянцевых. И думаю, забыл про меня. Il me faisait la cour, [Он за мной волочился,] – вспомнила графиня с улыбкой.
– Всё такой же, – отвечала Анна Михайловна, – любезен, рассыпается. Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Высокое положение не вскружило ему головы нисколько.] «Я жалею, что слишком мало могу вам сделать, милая княгиня, – он мне говорит, – приказывайте». Нет, он славный человек и родной прекрасный. Но ты знаешь, Nathalieie, мою любовь к сыну. Я не знаю, чего я не сделала бы для его счастья. А обстоятельства мои до того дурны, – продолжала Анна Михайловна с грустью и понижая голос, – до того дурны, что я теперь в самом ужасном положении. Мой несчастный процесс съедает всё, что я имею, и не подвигается. У меня нет, можешь себе представить, a la lettre [буквально] нет гривенника денег, и я не знаю, на что обмундировать Бориса. – Она вынула платок и заплакала. – Мне нужно пятьсот рублей, а у меня одна двадцатипятирублевая бумажка. Я в таком положении… Одна моя надежда теперь на графа Кирилла Владимировича Безухова. Ежели он не захочет поддержать своего крестника, – ведь он крестил Борю, – и назначить ему что нибудь на содержание, то все мои хлопоты пропадут: мне не на что будет обмундировать его.
Графиня прослезилась и молча соображала что то.
– Часто думаю, может, это и грех, – сказала княгиня, – а часто думаю: вот граф Кирилл Владимирович Безухой живет один… это огромное состояние… и для чего живет? Ему жизнь в тягость, а Боре только начинать жить.
– Он, верно, оставит что нибудь Борису, – сказала графиня.
– Бог знает, chere amie! [милый друг!] Эти богачи и вельможи такие эгоисты. Но я всё таки поеду сейчас к нему с Борисом и прямо скажу, в чем дело. Пускай обо мне думают, что хотят, мне, право, всё равно, когда судьба сына зависит от этого. – Княгиня поднялась. – Теперь два часа, а в четыре часа вы обедаете. Я успею съездить.
И с приемами петербургской деловой барыни, умеющей пользоваться временем, Анна Михайловна послала за сыном и вместе с ним вышла в переднюю.
– Прощай, душа моя, – сказала она графине, которая провожала ее до двери, – пожелай мне успеха, – прибавила она шопотом от сына.
– Вы к графу Кириллу Владимировичу, ma chere? – сказал граф из столовой, выходя тоже в переднюю. – Коли ему лучше, зовите Пьера ко мне обедать. Ведь он у меня бывал, с детьми танцовал. Зовите непременно, ma chere. Ну, посмотрим, как то отличится нынче Тарас. Говорит, что у графа Орлова такого обеда не бывало, какой у нас будет.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСВТЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Экономический факультет

Кафедра математики и информатики

Курсовая работа

на тему:

Функции Бесселя

Выполнил студент 2 курса

группы ПМиИ-08

Александрова А.Ю._______

«___»____________2010г.

Научный руководитель

к.ф.-м.н., ст. пр.

Сидоренко О.Г._______

«___»____________2010г.

Стерлитамак 2010

Введение

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

2 Функции Бесселя с произвольным значком

3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

4 Разложение в ряд функции Бесселя второго рода с целым значком

5 Функции Бесселя третьего рода

6 Функции Бесселя мнимого аргумента

7 Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа

8 Асимптотические представления цилиндрических функций для больших значений аргумента

9 Нули цилиндрических функций

Заключение

Список литературы

Введение

Цилиндрическими функциями называются решения линейного дифференциального уравнения второго порядка

Термин «цилиндрические функции» обязан своим происхождением тому обстоятельству, что уравнение (1) встречается при рассмотрении краевых задач теории потенциала для цилиндрической области.

Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций.

Хорошо разработанная теория рассматриваемых функций, наличие подробных таблиц и широкая область применений служат достаточным основанием для того, чтобы отнести цилиндрические функции к числу наиболее важных специальных функций.

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

1) электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;

2) теплопроводность в цилиндрических объектах;

3) формы колебания тонкой круглой мембраны;

4) скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций. Они имеют многочисленные приложения во всех естественных и технических науках (особенно в астрономии, механике и физике). В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью.

Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений.

Задачи:

1) Изучить уравнение Бесселя и модифицированное уравнение Бесселя.

2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.

3) Решить дифференциальное уравнение с использованием функции Бесселя.

1 Функции Бесселя с целым положительным значком

Для рассмотрения многих проблем, связанных с применением цилиндрических функций, достаточно ограничиться изучением специального класса этих функций, который соответствует случаю, когда параметр

Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям

Покажем, что одним из решений уравнения

является функция Бесселя первого рода порядка

При помощи признака Даламбера легко убедиться, что рассматриваемый ряд сходится на всей плоскости комплексного переменного и, следовательно, представляет целую функцию от

Если обозначить левую часть уравнения (1.1) через

то в результате подстановки получим

откуда следует

Простейшими функциями рассматриваемого класса являются функции Бесселя порядка нуль и единица:

Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Для доказательства предположим, что а - целое положительное число, умножим ряд (1.2) на

Аналогичным образом, умножая ряд на

Выполнив дифференцирование в равенствах (1.4 – 1.1) и разделив на множитель

откуда непосредственно следует:

Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя.

Бесселевыми, или цилиндрическими, функциями называются решения линейного дифференциального уравнения Бесселя

где z – комплексная переменная, ν – параметр, порядок, значок или индекс, также может быть произвольным комплексным числом.

В приложениях часто приходится рассматривать случай, когда ν = n – целое число. Под цилиндрическими функциями понимают следующие функции: функции Бесселя J ν (z ), функции Неймана N ν (z ), часто называемые функциями Вебера с обозначением Y ν (z ), и функции Ганкеля H ν (1) (z ), H ν (2) (z ). Названные функции при фиксированном
являются аналитическими функциямиz . Часто функции Бесселя приходится рассматривать при фиксированном z как функции значка ν . При этом они являются целыми функциями комплексной переменной ν .

Целой функцией называется аналитическая функция, представимая всюду сходящимся рядом Тейлора
.

Между функциями J ν (z ), N ν (z ) или Y ν (z ), H ν (1) (z ), H ν (2) (z ) существуют зависимости, аналогичные формулам Эйлера:

; .

С физической точки зрения, гармонические функции описывают незатухающие колебания постоянной частоты, в то время как функции Бесселя характеризуют слабозатухающий осциллирующий процесс, частота которого становится постоянной лишь в ассимптотике.

Отыскивая решение уравнения (6.13) в виде обобщённого степенного ряда
, гдеa m и a – подлежащие определению коэффициенты и значение параметра соответственно, получим два частных решения:

;
, (6.14)

которые при
являются линейно независимыми и их линейная комбинация образует общее решение уравнения (6.13). Если ν= n , то между функциями J п (z ) и J –п (z ) существует линейная зависимость вида
. Чтобы получить общее решение уравнения (6.13) дляν = n и вводится функция Неймана . ФункцииJ ν (z ) и N ν (z ) образуют фундаментальную линейно независимую систему решений уравнения Бесселя при любых значениях v , в том числе и при целых.

Функции Бесселя чисто мнимого аргумента (модифицированные функции Бесселя). Если считать, что
, гдеx – вещественная переменная, то подставляя это значение в (6.14), получим:

;
.

Входящие в эти выражения ряды и определяют модифицированные функции Бесселя

;
. (6.15)

То, что ряды (6.14) являются знакопеременными, а (6.15) – знакопостоянными, определяет резкое различие в их поведении (см. рис. 6.9 и 6.10, на которых представлены графики функций J n (x ) и I n (x ) соответственно).

Далее будем считать аргумент функции Бесселя вещественным числом х . Правило дифференцирования функций Бесселя определяется следующим рекуррентным соотношением:
. В частности, при
с учётом того, что
, получим:
.

Три соседних по значку функций Бесселя связаны соотношением

. (6.16)

Аналогичные формулы справедливы и для модифицированных функций Бесселя:

;
.

Из определения (6.15), учитывая поведение гамма-функции при отрицательных целых значениях аргумента, нетрудно показать, что I  n (x ) = I n (x ) и, следовательно,
.

При полуцелом значке
, гдеn – целое число, функции Бесселя выражаются через элементарные функции, так как выполняются соотношения
и
, что позволяет с помощью рекуррентного соотношения (6.16) определить
, и так далее.

Общие выражения для функций Бесселя полуцелого значка имеют вид
и
, где символ
означаетп- кратное дифференцирование стоящего за ним выражения с умножением результата на
после каждого дифференцирования.

Последующее дифференцирование проводится с учетом этого множителя. Например,

Приведенные выражения еще раз подчеркивают осциллирующий и слабозатухающий характер поведения функций Бесселя.

При изучении асимптотического поведения функции Бесселя рассматривают разные сценарии поведения аргумента z и значка v . Наиболее интересным и простым является случай, когда v фиксировано, а
. В этом случае первое приближение для
имеет вид

,

и, соответственно,
.

Особенностью функций Бесселя является увеличение с ростом v промежутка
на котором функция Бесселя близка к нулю.

Важную роль в изучении функций Бесселя играют производящие функции. Так, например, если разложить функцию
комплексной переменнойz и вещественной t в ряд Лорана в окрестности существенно особой точки z = 0, то получим
.

Полагая
и записывая условия равенства комплексных чисел, получим два важных для практики разложения:

откуда следует, что

;
. (6.17)

Пользуясь тем, что
и учитывая четность косинуса и нечетность синуса, эти выражения можно записать в виде

;
.

Если заменить в этих выражениях на
, то получим

;
.

Эти разложения носят имя Якоби, впервые их получившего.

Умножая левую и правую части первого равенства (6.17) на
, а вторую на
и интегрируя от 0 до, получим:

Складывая эти равенства, находим, что при любом п :

.

Этот интеграл, который можно рассматривать как интегральное представление функции Бесселя с целым значком, называется интегралом Бесселя. При п = 0 интеграл Бесселя обращается в интеграл Парсеваля:

.

Для произвольного значка v при условии
справедлива формула Пуассона

.

Убедиться в том, что при v = 0 мы получим интеграл Парсеваля, предлагается читателю самостоятельно.

Для модифицированных функций Бесселя
при
справедливо интегральное представление Пуассона

.

Приv = 0 с помощью замены переменной
можно получить интегральное представление

.

Во многих задачах оказываются полезными теоремы сложения для бесселевых (цилиндрических) функций, простейшей из которых является следующая.

Пусть
– стороны треугольника, приведенного на рис. 6.11, аи– его углы, лежащие против сторонитак, что в соответствии с теоремами косинусов и синусов
и
. Тогда для
имеет место разложение вида

,

называемое формулой Неймана, где
– символ Неймана.

Поскольку при замене R  R , r 1  r 1 , r 2  r 2 углы  и  не изменятся, то приведенную выше формулу можно записать в следующем виде:

.

При  = j с учетом того, что J k (x ) = j k I k (x ), k = 0, 1, 2, …, получим:

.

Для произвольного значка v теоремы сложения для J v (R ) и I v (R ) примут вид:

,

.

Нули цилиндрических функций и разложение функций в ряды Фурье  Бесселя. Как уже отмечалось, нули базовой или материнской функции определяют масштабный коэффициент при построении базисной системы на основе функций Бесселя. Рассмотрим уравнение
. Корни этого уравнения называются нулями функции Бесселя
и обозначаются как

Нули функций Бесселя
и
перемежаются. Можно показать , что система функций
, где
–n -й корень уравнения
, ортогональна на промежутке
с весомx , т. е.

Так как нули соседних по индексу функций Бесселя перемежаются, то
.

Если функция f (x ) кусочно-непрерывна и обладает ограниченным изменением в любом интервале (c , d ), удовлетворяющем условию 0 < c < d < a , и

существует интеграл
, то ряд Фурье–Бесселя
, где
, сходится и имеет сумму, т. е. совпадает с
в каждой точке ее непрерывности.

Приведем пример использования функций Бесселя в типичной задаче радиотехники.

Спектр частотномодулированного (ЧМ) колебания при гармоническом законе модуляции. Найдем спектр сигнала, мгновенная частота которого равна, где
– девиация частоты,
– несущая частота,
– частота модуляции. Так как фаза колебания
, то в нашем случае
. Отношение
называется индексом модуляции. Как мы увидим из дальнейшего, именно он определяет структуру спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции.Произвольную постоянную – начальную фазу  без потери общности можно положить равной нулю. Таким образом, исследуемый сигнал имеет вид:

где
– амплитуда колебания.

Используя известную формулу , запишем наш сигнал в виде

Применяя разложения (6.17) и упомянутую тригонометрическую формулу, получим окончательное выражение для спектра ЧМ-колебания при гармоническом законе модуляции:

.

Таким образом, спектр исследуемого сигнала имеет дискретный характер, причем амплитуды гармоник определяются номером n и индексом модуляции. Учитывая осциллирующий характер поведения функций Бесселя, отметим что при изменении индекса модуляции меняются соотношения между амплитудами гармоник.

Обращаясь к рис. 6.9, нетрудно заметить, что при
отличными от нуля будут лишь функции
,
и
; напомним что
и
отличаются только знаком. Таким образом, при

Если к этому добавить, что при
можно полагать
и
, то окончательно получим:

Следует заметить, что такой же амплитудный спектр имеет амплитудномодулированное колебание с гармоническим законом модуляции. Убедиться в этом мы предлагаем читателю.

С ростом индекса модуляции число отличных от нуля гармоник растет и спектр колебания расширяется. Так как высокое качество ЧМ-передач можно обеспечить при больших индексах модуляции, то становится понятным, почему качественное стереовещание ведется в УКВ-диапазоне, а не на длинных и средних волнах.

Интегральный оператор Фредгольма вида
, где ядром
являются функции Бесселя или связанные с ними функции, определяет преобразование Бесселя. Одним из наиболее часто используемых частных случаев этого преобразования является преобразование Ганкеля

, .

Обратный оператор (формула обращения) имеет вид

.

С другими случаями применения преобразования Бесселя можно познакомиться с помощью .

Для того чтобы перейти к решению задачи о колебаниях круглой мембраны, мы предварительно должны познакомиться с функциями Бесселя. Функции Бесселя являются решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

Это уравнение называется уравнением Бесселя. И само уравнение, и его решения встречаются не только в задаче о колебаниях круглой мембраны, по и в очень большом числе других задач.

Параметр k, входящий в уравнение (10.1), может, вообще говоря, принимать любые положительные значения. Решения уравнения при заданном k называются бесселевыми функциями порядка k (иногда их называют цилиндрическими функциями). Мы рассмотрим детально лишь наиболее простые случаи, когда и так как в дальнейшем изложении нам встретятся только бесселевы функции нулевого и первого порядков.

Для общего изучения бесселевых функций мы отсылаем читателя к специальным руководствам (см., например, }