Найти скорость и ускорение точки м. Вектор скорости и ускорения материальной точки и их модули. Пример решения задач. Определение относительной скорости точки
Скорость точки.
Перейдем к решению второй основной задачи кинематики точки - определению скорости и ускорения по уже заданному векторным, координатным или естественным способом движению.
1. Скоростью точки называется векторная величина, характеризующая быстроту и направление перемещения точки . В системе СИ скорость измеряется в м/с.
a) Определение скорости при векторном способе задания движения .
Пусть движение точки задано векторным способом, т.е. известно векторное уравнение (2.1): .
Рис. 2.6. К определению скорости точки
Пусть за время Dt радиус-вектор точки М изменится на величину . Тогда средней скоростью точки М за время Dt называется векторная величина
Вспоминая определение производной, заключаем:
Здесь и в дальнейшем знаком будем обозначать дифференцирование по времени. При стремлении Dt к нулю вектор , а, следовательно, и вектор , поворачиваются вокруг точки М и в пределе совпадают с касательной к траектории в этой точке. Таким образом, вектор скорости равен первой производной от радиус-вектора по времени и всегда направлен по касательной к траектории движения точки.
б) Скорость точки при координатном способе задания движения.
Выведем формулы для определения скорости при координатном способе задания движения. В соответствии с выражением (2.5), имеем:
Так как производные от постоянных по величине и направлению единичных векторов равны нулю, получаем
Вектор , как и любой вектор, может быть выражен через свои проекции:
Сравнивая выражения (2.6) и (2.7) видим, что производные координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл - они являются проекциями вектора скорости на координатные оси. Зная проекции, легко вычислить модуль и направление вектора скорости (рис. 2.7):
Рис. 2.7.К определению величины и направления скорости
в) Определение скорости при естественном способе задания движения.
Рис. 2.8. Cкорость точки при естественном способе задания движения
Согласно (2.4) ,
где - единичный вектор касательной. Таким образом,
Величина V =dS/dt называется алгебраической скоростью. Если dS/dt>0 , то функция S = S(t) возрастает и точка движется в сторону увеличения дуговой координаты S, т.е. точка движется в положительном направлении Если же dS/dt<0 , то точка движется в противоположном направлении.
2. Ускорение точки
Ускорением называется векторная величина, характеризующая быстроту изменения модуля и направления вектора скорости . В системе СИ ускорение измеряется в м/с 2 .
a) Определение ускорения при векторном способе задания движения .
Пусть точка М в момент времени t находится в положении М(t) и имеет скорость V(t), а в момент времени t + Dt находится в положении М(t + Dt) и имеет скорость V(t + Dt) (см. рис. 2.9).
Рис. 2.9. Ускорения точки при векторном способе задания движения
Средним ускорением за промежуток времени Dt называется отношение изменения скорости к Dt , т.е.
Предел при Dt ® 0 называется мгновенным (или просто ускорением) точки М в момент времени t
Согласно (2.11), ускорение при векторном способе задания движения равно векторной производной от скорости по времени.
б). Ускорения при координатном способе задания движения .
Подставляя (2.6) в (2.11) и дифференцируя произведения в скобках, находим:
Учитывая, что производные от единичных векторов равны нулю, получаем:
Вектор может быть выражен через свои проекции:
Сравнение (2.12) и (2.13) показывает, что вторые производные от координат по времени имеют вполне определенный геометрический смысл: они равны проекциям полного ускорения на координатные оси, т.e.
Зная проекции, легко вычислить модуль полного ускорения и направляющие косинусы, определяющие его направление:
в). Ускорение точки при естественном способе задания движения
Приведем некоторые сведения из дифференциальной геометрии, необходимые для определения ускорения при естественном способе задания движения.
Пусть точка М движется по некоторой пространственной кривой. С каждой точкой этой кривой связаны три взаимно ортогональные направления (касательная, нормаль и бинормаль), однозначно характеризующие пространственную ориентацию бесконечно малого элемента кривой вблизи данной точки. Ниже приводится описание процесса определения указанных направлений.
Для того чтобы провести касательную к кривой в точке М , проведем через нее и близлежащую точку М 1 секущую ММ 1 .
Рис. 2.10. Определение касательной к траектории движения точки
Касательная к кривой в точке М определяется как предельное положение секущей ММ 1 при стремлении точки М 1 к точке М (рис. 2.10). Единичный вектор касательной принято обозначать греческой буквой .
Проведем единичные векторы касательных к траектории в точках М и М 1 . Перенесем вектор в точку М (рис. 2.11) и образуем плоскость, проходящую через эту точку и векторы и . Повторяя процесс образования аналогичных плоскостей при стремлении точки М 1 к точке М , мы получаем в пределе плоскость, называемую соприкасающейся плоскостью.
Рис. 2.11. Определение соприкасающейся плоскости
Очевидно, что для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в которой лежит сама эта кривая. Плоскость, проходящая через точку М и перпендикулярная касательной в этой точке, называется нормальной плоскостью. Пересечение соприкасающейся и нормальной плоскостей образует прямую, называемую главной нормалью (рис. 2.12).
Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся точкой A и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты (рис. 1.6). Очевидно, что τ - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки A направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так
где v τ =dl/dt - проекция вектора v на направление вектора τ, причем v τ - величина алгебраическая. Кроме того, |v τ |=|v|=v.
Ускорение точки
Продифференцируем (1.22) по времени
(1.23)
Преобразуем последний член этого выражения
(1.24)
Определим приращение вектора τ на dl (рис. 1.7).
Как видно из рис. 1.7, угол , откуда , причем при .
Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде
Подставим (1.23) в (1.24) и полученное выражение в (1.22). В результате найдем
(1.26)
Здесь первое слагаемое называют тангенциальным a τ , второе - нормальным a n .
Таким образом, полное ускорение a точки может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.
Модуль полного ускорения точки
(1.27)
Направлено оно в сторону вогнутости траектории под углом α к вектору скорости, причем .
Если угол α острый, то tgα>0, следовательно, dv/dt>0, так как v 2 /R>0 всегда.
В данном случае величина скорости возрастает с течением времени - движение называют ускоренным (рис. 1.8).
В том случае, когда скорость с течением времени уменьшается по величине, движение называется замедленным (рис. 1.9).
Если же угол α=90°, tgα=∞, то есть dv/dt=0. В этом случае скорость с течением времени по величине не изменяется, а полное ускорение будет равно центростремительному
(1.28)
В частности, полное ускорение равномерного вращательного движения (R=const, v=const) есть центростремительное ускорение, по величине равное a n =v 2 /R и направленное все время к центру.
При прямолинейном движении, наоборот, полное ускорение тела равно тангенциальному. В данном случае a n =0, так как прямолинейную траекторию можно считать окружностью бесконечно большого радиуса, а при R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .
Механическим движением называют изменение с течением времени положения в пространстве точек и тел относительно какого-либо основного тела, с которым скреплена система отсчета. Кинематика изучает механическое движение точек и тел независимо от сил, вызывающих эти движения. Всякое движение, как и покой, относительно и зависит от выбора системы отсчета.
Траекторией точки называют непрерывную линию, описывае мую движущейся точкой. Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным, а если - кривая, то - криволинейным. Если траектория - плоская, то движение точки называют плоским.
Движение точки или тела, считается заданным или известным, если для каждого момента времени (t) можно указать положение точки или тела относительно выбранной системы координат.
Положение точки в пространстве определяется заданием:
а) траектории точки;
б) начала О 1 отсчета расстояния по траектории (Рисунок 11): s = О 1 М - криволинейная координата точки М;
в) направления положи тельного отсчета расстояний s;
г) уравнения или закона движения точки по траектории: S = s(t)
Скорость точки. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называют равномерным. Скорость равномерного движения измеряется отношением пути з, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени: v = s/1. Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называют неравномерным. Скорость в этом случае также переменна и является функцией времени: v = v(t). Рассмотрим точку А, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = s(t) (Рисунок 12):
За промежуток времени t т. А переместилась в положение А 1 по дуге АА. Если промежуток времени Δt мал, то дугу АА 1 можно заменить хордой и найти в первом приближении величину средней скорости движения точки v cp = Ds/Dt. Средняя скорость направлена по хорде от т. А к т. А 1 .
Истинная скорость точки направлена по касательной к траектории, а ее алгебраическая величина определяется первой производной пути по времени:
v = limΔs/Δt = ds/dt
Размерность скорости точки: (v) = длима/время, например, м/с. Если точка движется в сторону увеличения криволинейной координаты s, то ds > 0, и следовательно, v > 0, а в противном случае ds < 0 и v < 0.
Ускорение точки. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Рассмотрим движение точки А по криволинейной траектории за время Δt из положения A в положение A 1 . В положении A точка имела скорость v , а в положении A 1 - скорость v 1 (Рисунок 13). т.е. скорость точки изменилась по величине и направлению. Геометрическую разность, скоростей Δv найдем, построив из точки A вектор v 1.
Ускорением точки называют вектора ", равный первой производной от вектора скорости точки по времени:
Найденный вектор ускорения а может быть разложен на две взаимно-перпендикулярные составляющие но касательной и нормали к траектории движения . Касательное ускорение а 1 совпадает по направлению со скоростью при ускоренном движении или противоположно ей при замененном движении. Оно характеризует изменение величи-ны скорости и равно производной от величины скорости по времени
Вектор нормального ускорения а направлен по нормали (перпендикуляру) к кривой в сторону вогнутости траектории, а модуль его равен отношению квадрата величины скорости точки к радиусу кривизны траектории в рассматриваемой точке.
Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по
направлению.
Величина полного ускорения: , м/с 2
Виды движения точки в зависимости от ускорения.
Равномерное прямолинейное движение (движение по инерции) характеризуется тем, что скорость движения постоянна, а радиус кривизны траектории равен бесконечности.
То есть, r = ¥, v = const, тогда ; и поэтому . Итак, при движении точки по инерции ее ускорение равно нулю.
Прямолинейное неравномерное движение. Радиус кривизны траектории r = ¥, а n = 0, поэтому и а = а t и а = а t = dv/dt.
1. Способы задания движения точки в заданной системе отсчетаОсновными задачами кинематики точки являются:
1. Описание способов задания движения точки.
2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.
Механическое движение − изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета .
Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траектория точки.
Задать движение − это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. К основным способам задания движения точки относятся:
векторный, координатный и естественный .
1.Векторный способ задания движения (рис. 1).
Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки, связанной с телом отсчета: − векторное уравнение движения точки.
2.Координатный способ задания движения (рис. 2).
В этом случае задаются координаты точки как функции времени:
- уравнения движения точки в координатной форме.
Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них . В случае пространственной траектории, исключив , получим:
В случае плоской траектории
исключив , получим:
Или .
3. Естественный способ задания движения (рис. 3).
В этом случае задаются:
1)траектория точки,
2)начало отсчета на траектории,
3) положительное направление отсчета,
4)закон изменения дуговой координаты: .
Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.
2. Скорость и ускорение точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени (рис. 4):
Тогда − средняя скорость точки за промежуток времени .
Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при :
Скорость точки − это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.
Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Среднее ускорениехарактеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени (рис. 5).
Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при :
Ускорение точки − это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени .
Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.
3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением
(рис. 6).
Из определения скорости:
Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени
, , . .
Модуль и направление скорости определяются выражениями:
Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени
Из определения ускорения:
Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:
, , .
Модуль и направление ускорения определяются выражениями:
, , .
4 Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения
4.1 Естественные оси.
Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения
Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку (рис.9). Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость (рис. 10), которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.
Из определения скорости точки
где , − единичный вектор касательной.
Тогда
, .
Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.
Из определения ускорения
− переменный по направлению вектор и
Производная определяется только видом траектории в окрестности данной точки, при этом, вводя в рассмотрение угол поворота касательной, имеем , где − единичный вектор главной нормали, − кривизна траектории, − радиус кривизны траектории в данной точке.
Пусть движение точки М задано векторным способом, то есть задан радиус-вектор точки как функция времени
Линия, описываемая концом переменного вектора, начало которого находится в заданной неподвижной точке, называется годографом этого вектора. Отсюда и из определения траектории следует правило: траектория точки есть годограф ее радиуса-вектора.
Пусть в некоторый момент t точка занимает положение М и имеет радиус-вектор , а в момент - положение и радиус-вектор (рис. 78).
Вектор , соединяющий последовательные положения точки в указанные
моменты, называется вектором перемещения точки за время . Вектор перемещения следующим образом выражается через значения вектор-функции (5):
Если вектор перемещения поделить на величину промежутка , получим вектор средней скорости точки за время
Будем теперь уменьшать промежуток , устремляя его к нулю. Предел, к которому стремится вектор средней скорости при неограниченном уменьшении промежутка , называется скоростью точки в момент t или просто скоростью точки 0. В соответствии со сказанным для скорости получаем:
Итак, вектор скорости точки равен производной по времени от ее радиуса-вектора:
Поскольку секущая в пределе (при ) переходит в касательную , приходим к выводу, что вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
В общем случае скорость точки также переменна, и можно интересоваться быстротой изменения скорости. Скорость изменения скорости называется ускорением точки.
Для определения ускорения а выберем какую-либо неподвижную точку А и будем откладывать из нее вектор скорости и в различные моменты времени.
Линия, которую опишет конец N вектора скорости, представляет собой годограф скорости (рис. 79). Изменение вектора скорости выражается в том, что геометрическая точка N движется по годографу скорости, а скорость этого движения служит, по определению, ускорением точки М.