Приведение плоской системы сил к точке. Приведение силы к точке. Угол и конус трения
Предположим,
что произвольная плоская система сил
приводится к одной силе, равной главному
вектору
и приложенной к центру приведения, и к
одной паре с моментом, равным главному
моменту
(рисунок 57, а
).
Докажем, что рассматриваемая произвольная
плоская система сил приводится в этом
общем случае к равнодействующей силе
,
линия действия которой проходит через
точку А
,
отстоящую от выбранного центра приведения
О
на расстоянии
.
Для этого преобразуем пару с моментом
так, чтобы силы
и
,
составляющие эту пару, оказались равными
по модулю главному вектору R".
При этом нужно подобрать плечо пары
так, чтобы ее момент т
оставался равным М 0
.Для этого плечо пары
нужно, очевидно, находить из равенства
.
(1)
Пользуясь
тем, что пару всегда можно перемещать
в ее плоскости действия как угодно,
переместим пару
так, чтобы ее сила
оказалась приложенной в центре приведения
О
и противоположно направленной главному
вектору
(рисунок 57, б
).
Рассматриваемая
произвольная плоская система сил
эквивалентна, таким образом, силе
и паре
.
Отбрасывая силы
и
как уравновешенные, получим, что вся
рассматриваемая система сил заменяется
одной силой
,
являющейся, следовательно, равнодействующей.
При этом линия действия равнодействующей
будет проходить через точку А
,
положение которой относительно выбранного
центра приведения определяется формулой
(1).
Если
же в результате приведения произвольной
плоской системы сил окажется, что
,
а
,
то в этом частном случае эта система
сил сразу заменяется одной силой, т. е.
равнодействующей
,
линия действия которой проходит через
выбранный центр приведения.
Задача
7
.
К точкам В
и С
тела соответственно приложены равные
по модулю и взаимно перпендикулярные
силы
и
,
отстоящие от точки О
тела на равных расстояниях
.
Привести эту систему сил к точке О
(рисунок 58).
Решение.
Перенесем силы
и
параллельно самим себе в точкуО
.
В результате такого переноса получим
(рисунок 58) силы
и
,
приложенные в точке
О
,
и присоединенные пары
и
,
лежащие в одной плоскости с моментами
и
(силы, образующие эти пары отмечены на
рисунке 58 черточками). От геометрического
сложения сил
и
,
приложенных в точкеО
,
получим главный вектор данной системы
сил
модуль которого, очевидно, равен
От
сложения присоединенных пар получим
равнодействующую пару, момент которой
равен главному моменту
данной системы сил относительно точкиО
:
Следовательно,
данная система двух сил
и
имеет равнодействующую
,
приложенную в точке А , которая отстоит от точки О на расстоянии
.
;
,
т.
е. равнодействующая образует с обеими
данными силами
и
равные углы по 45 0 .
Задача
8.
На мостовую ферму (рисунок 59) действуют
вертикальные силы
т
и
т
соответственно на расстоянии 10м
и
40 м
от левого конца фермы и горизонтальная
сила
т
на уровне верхнего пояса фермы, высота
фермы равна 6м
.
Привести систему сил
,
и
простейшему виду.
Решение. Проводим оси координат так, как показано на рисунке 59, взяв начало координат в точке А. Найдем проекции главного вектора заданной системы сил на оси выбранной системы координат:
откуда
находим модуль главного вектора
:
т
.
Найдем теперь главный момент заданной системы сил относительно начала координат А:
т·м
.
Следовательно,
данная система сил имеет равнодействующую
,
модуль которой
т.
Теперь
найдем линию действия равнодействующей.
Момент равнодействующей
относительно
начала координат А
определится
но формуле
,
где
х
и
y
-
координаты точки, лежащей на линии
действия равнодействующей. Так как
т
и
т,
то
.
С другой стороны, по теореме Вариньона о моменте равнодействующей (5, § 11) имеем
Следовательно,
.
Это и есть уравнение линии действия равнодействующей.
Полагая
в этом уравнении
,
находим, что точка пересечения линии
действия равнодействующей
с верхним поясом фермы находится на
расстоянии
м
от
левого конца фермы. Полагая же
м
,
находим, что точка пересечения линии
действия равнодействующей
с нижнем поясом фермы находится на
расстоянии
м
от левого конца фермы. Соединения
определенные таким образом точки
пересечения линий действия равнодействующей
с верхним и нижнем поясом фермы прямой
линией, находим линию действия
равнодействующей
.
Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом
при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (см. п. 4), или аналитически. Таким образом, для плоской системы сил
R x =F kx , R y =F ky ,
где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.
Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М O .
- 1. Если для данной системы сил R=0, a M O ?0, то она приводится к одной паре с моментом М O , значение которого не зависит от выбора центра О.
- 2. Если для данной системы сил R?0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
- а) R?0, М O =0. В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;
- б) R?0, М O ?0. В этом случае пару с моментом М O можно изобразить двумя силами R" и R", беря R"=R, a R"= - R. При этом, если d=OC - плечо пары, то должно быть Rd=|M O |.
Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей R"=R, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC=d () должно удовлетворять равенству Rd=|M O |; 2) знак момента относительно центра О силы R", приложенной в точке С, т. е. знак m O (R") должен совпадать со знаком М O .
Решим теперь задачу о приведении произвольней системы сил к данному центру, т. е. о замене данной системы сил другой, ей эквивалентной, но значительно более простой, а именно состоящей, как мы увидим, только из одной силы и пары.
Пусть на твердое тело действует произвольная система сил (рис. 40, а).
Выберем какую-нибудь точку О за центр приведения и, пользуясь теоремой, доказанной в § 11, перенесем все силы в центр О, присоединяя при этом соответствующие пары (см. рис. 37, б). Тогда на тело будет действовать система сил
приложенных в центре О, и система пар, моменты которых согласно формуле (18) равны:
Сходящиеся силы, приложенные в точке О, заменяются одной силой R, приложенной в точке О. При этом или, согласно равенствам (19),
Чтобы сложить все полученные пары, надо сложить векторы моментов этих пар. В результате система пар заменится одной парой, момент которой или, согласно равенствам (20),
Как известно, величина R, равная геометрической сумме всех сил, называется главным вектором системы величина равная геометрической сумме моментов всех сил относительно центра О, называется главным моментом системы сил относительно этого центра.
Таким образом, мы доказали следующую теорему о приведении системы сил: любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно выбранному центру О заменяется одной силой R, равной главному вектору системы сил и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом равным главному моменту системы сил относительно центра О (рис. 40, б).
Заметим, что сила R не является здесь равнодействующей данной системы сил, так как заменяет систему сил не одна, а вместе с парой.
Из доказанной теоремы следует, что две системы сил, имеющие одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра, эквивалентны (условия эквивалентности систем сил).
Отметим еще, что значение R от выбора центра О, очевидно, не зависит. Значение же при изменении положения центра О может в общем случае изменяться вследствие изменения значений моментов отдельных сил. Поэтому всегда необходимо указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
Теорема о приведении системы сил:
Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой R , равной главному вектору этой системы сил и приложенной к произвольно выбранному центру О, и одной парой сил с моментом L O , равным главному моменту системы сил относительно центра О.
Такая эквивалентная замена данной системы сил силой R и парой сил с моментом L O называютприведением системы сил к центу О .
Рассмотрим здесь частный случай приведения плоской системы сил к центру О, лежащему в той же плоскости. В этом случае система сил заменяется одной силой и одной парой сил, лежащих в плоскости действия сил системы. Момент этой пары сил можно рассматривать как алгебраическую величину L O и изображать на рисунках дуговой стрелкой (алгебраический главный момент плоской системы сил ).
В результате приведения плоской системы сил к центру возможны следующие случаи:
если R = 0, L O = 0, то заданная система является равновесной ;
если хотя бы одна из величин R или L O не равна нулю, то система сил не находится в равновесии . При этом:
16 Вопрос. Уравнение равновесия
Для равновесия твердрго тела, находящегося под действием плоской системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент были равны нулю, то есть R = 0, L O = 0, где О - любой центр, расположенный в плоскости действия сил системы.
Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:
Основная форма уравнений равновесия:
для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:
F ix = 0; F iy = 0; M O (F i) = 0. (I)
Вторая форма уравнений равновесия:
для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:
F ix = 0; M А (F i) = 0; M В (F i) = 0. (II)
Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):
для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:
M А (F i) = 0; M В (F i) = 0; M С (F i) = 0. (III)
Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.
17 Вопрос
Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра приведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). С другой стороны, имеем M O1Z =M Olz (R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M Oz =0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R 1 приложена в какой-либо точке О 1 с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F o и главный момент М Оя при центре приведения в начале координат. Так как R 1 =F o , то составляющие равнодействующей по осям х и у равны R lx =F Ox =F Ox i и R ly =F Oy =F oy j. Согласно теореме Вариньона момент равнодействующей относительно начала координат равен главному моменту при центре приведения в начале координат, т. е. М оz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox . (5.14). Величины M Oz , F Ox и F oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и ув уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты линии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F ox ≠0 его можно переписать в виде y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).
Приведение системы сил к центру
Вопросы
Лекция 6
3. Условия равновесия произвольной системы сил
1. Рассмотрим произвольную систему сил . Выберем произвольную точку О за центр приведения и, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все силы системы в данную точку, не забывая при переносе каждой силы добавлять присоединенную пару сил.
Полученную таким образом систему сходящихся сил заменим одной силой , равной главному вектору исходной системы сил. Образовавшуюся при переносе систему пар сил заменим одной парой с моментом , равным геометрической сумме моментов всех пар сил (т.е. геометрической суммой моментов исходной системы сил относительно центра О ).
Такой момент называется главным моментом системы сил относительно центра О (рис. 1.30).
Рис. 1.30. Приведение системы сил к центру
Итак, любую систему сил всегда можно заменить всего двумя силовыми факторами - главным вектором и главным моментом относительно произвольно выбранного центра приведения . Очевидно, что главный вектор системы сил не зависит от выбора центра приведения (говорят, что главный вектор инвариантен по отношению к выбору центра приведения). Очевидно также, что главный момент таким свойством не обладает, поэтому необходимо всегда указывать, относительно какого центра определяется главный момент.
2. Приведение системы сил к простейшему виду
Возможность дальнейшего упрощения произвольных систем сил зависит от значения их главного вектора и главного момента, а также от удачного выбор центра приведения. При этом возможны следующие случаи:
a) , . В данном случае система приводится к паре сил с моментом , значение которого не зависит от выбора центра приведения.
б) , . Система приводится к равнодействующей, равной , линия действия которой проходит через центр О .
в) , и взаимно перпендикулярны. Система приводится к равнодействующей, равной , но не проходящей через центр О (рис. 1.31).
Рис. 1.31. Приведение системы сил к равнодействующей
Заменим главный момент парой сил , как показано на рис. 1.31. Определим R из условия, что M 0 = R h . Затем отбросим на основании второй аксиомы статики уравновешенную систему двух сил , приложенных в точке О .
г) и параллельны. Система приводится к динамическому винту, с осью, проходящей через центр О (рис. 1.32).
Рис. 1.32. Динамический винт
д) и не равны нулю и при этом главный вектор и главный момент не параллельны и не перпендикулярны друг другу. Система приводится к динамическому винту, но ось не проходит через центр О (рис. 1.33).
Рис. 1.33. Самый общий случай приведения системы сил
