Какой движение точки называют относительным. Абсолютное, переносное и относительное движение точки. Теорема о сложении скоростей

Движется относительно какой-либо системы отсчёта, а та, в свою очередь, движется относительно другой системы отсчёта. При этом возникает вопрос о связи движений точки в этих двух СО.

Обычно выбирают одну из СО за базовую («абсолютную»), другую называют «подвижной» и вводят следующие термины:

• абсолютное движение - это движение точки/тела в базовой СО.
• относительное движение - это движение точки/тела относительно подвижной системы отсчёта.
• переносное движение - это движение второй СО относительно первой.

Также вводятся понятия соответствующих скоростей и ускорений . Например, переносная скорость - это скорость точки, обусловленная движением подвижной системы отсчёта относительно абсолютной. Другими словами, это скорость точки подвижной системы отсчёта, в данный момент времени совпадающей с материальной точкой.

Оказывается, что при получении связи ускорений в разных системах отсчёта возникает необходимость ввести ещё одно ускорение, обусловленное вращением подвижной системы отсчёта:

В дальнейшем рассмотрении, базовая СО предполагается инерциальной , а на подвижную никаких ограничений не накладывается.

Классическая механика

Кинематика сложного движения точки

Скорость

Основные задачи кинематики сложного движения заключаются в установлении зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного и относительного движений точки (или тела) и характеристиками движения подвижной системы отсчета, то есть переносного движения. Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть

Ускорение

Связь ускорений можно найти путём дифференцирования связи для скоростей, не забывая, что координатные векторы подвижной системы координат также могут зависеть от времени.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трёх ускорений - относительного, переносного и кориолисова , то есть

Кинематика сложного движения тела

Для твёрдого тела, когда все составные (то есть относительные и переносные) движения являются поступательными , абсолютное движение также является поступательным со скоростью, равной геометрической сумме скоростей составных движений. Если составные движения тела являются вращательными вокруг осей, пересекающихся в одной точке (как, например, у гироскопа), то результирующее движение также является вращательным вокруг этой точки с мгновенной угловой скоростью, равной геометрической сумме угловых скоростей составных движений. Если же составными движениями тела являются и поступательные, и вращательные, то результирующее движение в общем случае будет слагаться из серии мгновенных винтовых движений.

Рассчитать взаимосвязь скоростей разных точек твёрдого тела в разных системах отсчёта можно с помощью комбинирования формулы сложения скоростей и формулы Эйлера для связи скоростей точек твёрдого тела . Связь ускорений находится простым дифференцированием полученного векторного равенства по времени.

Динамика сложного движения точки

При рассмотрении движения в неинерциальной СО нарушаются первые 2 закона Ньютона. Чтобы обеспечить формальное их выполнение, обычно вводятся дополнительные, фиктивные (не существующие на самом деле), силы инерции: центробежная сила и сила Кориолиса . Выражения для этих сил получаются из связи ускорений (предыдущий раздел).

Релятивистская механика

Скорость

При скоростях, близких к скорости света, преобразования Галилея не являются точно инвариантными и классическая формула сложения скоростей перестаёт выполняться. Вместо этого, инвариантными являются преобразования Лоренца, а связь скоростей в двух инерциальных СО получается следующей:

в предположении, что скорость направлена вдоль оси х системы S. Легко убедиться, что в пределе нерелятивистских скоростей преобразования Лоренца сводятся к преобразованиям Галилея.

Однако вводится величина - быстрота - которая аддитивна при переходе от одной СО к другой.

движение точки

Сложным движением точки называется такое ее движение, при кото­ром она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за непод­вижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, со­вершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета ) и дви­жения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета ).

Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки . Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки .

Переносной скоростью и переносным ускорением точки на­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называ­ется абсолютным или сложным . Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

§ 21 .Определение скорости точки при сложном

движении

Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

,(2.67)

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

не­подвижной системы отсчета ;

Радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

Радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пустькоординаты точки в подвижных осях. Тогда

,(2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль под­вижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), полу­чим:

.(2.69)

При относительном движении координаты изменя­ются с течением времени. Чтобы найти скорость относитель­ного движения, нужно продиффе­ренцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относи­тельного движе­ния, то есть только за счет изменения коор­динат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сде­ланных оговорок, получим относитель­ную скорость:

, (2.70)

где точки над величинами означают производные от этих ве­личин по времени:

, , .

Если относительного движения нет, то точка будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и ско­рость точки будет равна переносной скорости. Таким обра­зом, выражение для переносной скорости можно полу­чить, если продифференцировать по времени радиус-вектор , считая не за­висящими от времени:

.(2.71)

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени , учитывая, что от времени зависят относительные координатыи орты подвижной системы координат:

.(2.72)

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная ско­рость точки, а вторая - относитель­ная. Итак,

.(2.73)

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей : абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.

Задача 2.9. Поезд движется по прямоли нейному горизонтальному пути с постоянной скоростью . Пассажир видит из окна вагона траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом . Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.

Решение. Капли дождя имеют абсолютную скорость

где - относительная скорость капли при ее движении по стеклу вагона;

Переносная скорость капли, равная скорости движения поезда.

Получившийся параллелограмм скоростей (рис. 2.27) диагональ делит на два равных треугольника. Рассмотрев любой из этих треугольников, находим

.

Переводим полученную скорость падения капель в :

.

§ 22 .Определение ускорения точки при сложном

движении

Выражение для относительного ускорения точки можно получить, диффе­ренцируя относительную скорость (2.70), учи­тывая ее и зменение только за счет относительного движения, то есть за счет изменения относительных координат точки , , . Вектора же следует считать постоянными, так как движение не­движной системы координат не учитывается при определении относительной скорости и относительного ускорения точки. Итак, имеем

,(2.74)

Переносное ускорение получим, дифференцируя по време­ни равенство (2.71), считая, что точка покоится по отношению к подвижной системе координат, т. е. что относительные координаты точки , , не зависят от времени.

.(2.75)

Абсолютное ускорение получим, дифференцируя выраже­ние для абсолютной скорости (2.72), учитывая, что с течени­ем времени изменяются как относительные координаты , , точки, так и орты подвижной системы координат

.(2.76)

Видно, что первая скобка в (2.76) есть переносное ускорение, третья - относи­тельное ускорение. Вторая скобка есть до­полнительное или кориолисово ускорение :

.(2.77)

Итак, равенство (2.76) можно записать в виде

.(2.78)

Эта формула и выражает теорему Кориолиса : в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме

переносного, от­носительного и поворот­ного ускорений.

Преобразуем формулу (2.77) дляускорения Кориолиса. Для производных единичныхвекторов подвижной системы координат имеют место следующие формулы Пуассона :

; ; .(2.79)

Здесь - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы коорди­нат. Знаком обозначено векторное произ­ведение векторов.

Подставляя формулы (2.79) в (2.77), получим:

Выражение в скобках есть не что иное, как относитель­ная скорость (см. (2.70)). Окончательно получим:

.(2.80)

Итак, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторно­му произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор отно­сительной скорости .

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено пер­пендикулярно плоскости, прохо­дящей через вектора и в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускоре­ния Кориолиса

.(2.81)

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях :

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного перенос­ного движения;

2) если , т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты об­раще­ний в нуль относительной скорости точки;

3) если , т. е. в случае, когда вектор относительной скорости то­чки параллелен вектору угловой скорости переносного движения , как, напри­мер, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающе­гося вокруг своей оси.

Задача 2.10. По железнодорожному п ути, проложенному по параллели северной ши­роты, движется тепловоз со скоростью с запада на восток. Найти корио­лисово ускорение тепловоза.

Решение. Пренебрегая размерами тепло­воза, будем рассматривать его как некоторую точку (точка на рис. 2.29). Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем враща­тельное движение точки вместе с Землей, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к Земле с постоянной скоростью .

Величина ускоре­ния Кориолиса согласно (2.81) равна

,

где - угловая скорость вращения Земли.

Найдем угловую скорость вращения Земли. За сутки Земля делает один оборот. Угол, соответствующий одному обороту, равен и число секунд в сутках равно , отсюда

.

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по об­щему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам и , и направлен в сторону противополож­ную направлению векторов и .

До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается целесообразным (а иногда и необходимым) рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается основной или условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.

Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют составным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движущегося парохода, можно считать совершающим по отношению к берегу сложное движение, состоящее из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (неподвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвижной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результаты этой теории используются в динамике для изучения относительного равновесия и относительного движения тел под действием сил.

Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета , которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета которую называем основной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не показанным. Введем следующие определения.

1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижной системе отсчета (к осям ), называется относительным движением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный с этими осями и перемещающийся вместе с ними).

Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относительной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям Охуz называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение - относительным ускорением (обозначается ). Из определения следует, что при вычислении можно движение осей во внимание не принимать (рассматривать их как неподвижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуz (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отношению к неподвижной системе является для точки М переносным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуz точки , с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент (обозначается ипер), а ускорение этой точки - переносным ускорением точки М (обозначается арер). Таким образом,

Если представить себе, что относительное движение точки происходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуz, то переносной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной системе отсчета называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого движения называется абсолютной траекторией, скорость абсолютной скоростью (обозначается ) и ускорение - абсолютным ускорением (обозначается ).

В приведенном выше примере движение шара относительно палубы парохода будет относительным, а скорость - относительной скоростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость - абсолютной скоростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перейдем.

Сложное движение точки-это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях.

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета Оxyz, которая в свою очередь движется относительно другой системы отсчета О 1 х 1 у 1 z 1 , которую условно будем называть неподвижной (рис. 10.1).

Движение точки М по отношению к подвижным осям координат называется относительным движением. Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью и относительным ускорением. Эти величины будем обозначать и .

Переносным называется движение относительно неподвижной системы отсчета той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М. Следовательно, переносной скоростью и переносным ускорением будем считать скорость и ускорение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка М. Переносную скорость и переносное ускорение обозначаем и .

Движение точки М относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением. Эти величины обозначаются и .

Если точка одновременно участвует в относительном и переносном движениях, то ее абсолютное движение называют сложным, а ее относительное и переносное движения называются составляющими движениями.

10.2. Скорость точки в абсолютном, относительном и переносном движениях

Если точка М участвует в сложном движении, то справедлива теорема, согласно которой абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости этой точки:

Для определения переносной скорости мысленно останавливается относительное движение и переносная скорость вычисляется по правилам кинематики твердого тела, т. е. как скорость той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпала движущаяся точка.

Для определения относительной скорости точки следует мысленно остановить переносное движение и вычислить относительную скорость по правилам кинематики точки.

С помощью уравнения (10.1) величину абсолютной скорости можно определить геометрически и аналитически. Для геометрического метода решения данной задачи можно построить замкнутый треугольник скоростей (рис. 10.2, а) или параллелограмм скоростей (рис. 10.2, б).

Тогда абсолютная скорость определяется формулами

(10.2)

или , (10.3)

где β и γ- углы, образуемые вектором с векторами и .

При применении метода проекций достаточно выбрать оси координат и спроектировать равенство (10.1) на эти оси.

Определение сложного (составного) движения точки. Определение абсолютного, относительного и переносного движения, скорости и ускорения. Доказательство теоремы о сложении скоростей и теоремы Кориолиса о сложении ускорений. Кориолисово (поворотное) ускорение.

Здесь мы покажем, что при сложном движении, абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.
Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где - кориолисово ускорение.

Пример применения изложенной ниже теории приводится на странице “Сложное движение точки. Пример решения задачи ”.

Сложное (составное) движение точки

Часто встречаются случаи, когда точка совершает известное движение относительно некоторого твердого тела. А это тело, в свою очередь, движется относительно неподвижной системы координат. Причем движение точки относительно тела и закон движения тела относительно неподвижной системы координат известны или заданы. Требуется найти кинематические величины (скорость и ускорение) точки относительно неподвижной системы координат.

Такое движение точки называется сложным или составным .

Сложное или составное движение точки - это движение в подвижной системе координат. То есть движение точки описывается в системе координат, которая сама совершает движение относительно неподвижной системы координат.

Далее, для ясности изложения, будем считать, что подвижная система координат жестко связана с некоторым твердым телом. Мы будем рассматривать движение точки относительно тела (относительное движение) и движение тела относительно неподвижной системы координат (переносное движение).

Относительное движение точки при сложном движении - это движение точки относительно тела (подвижной системы координат) считая, что тело покоится.

Переносное движение точки при сложном движении - это движение точки, жестко связанной телом, вызванное движением тела.

Абсолютное движение точки при сложном движении - это движение точки относительно неподвижной системы координат, вызванное движением тела и движением точки относительно тела.

Сложное движение. Точка M движется относительно движущегося тела.

Пусть Oxyz - неподвижная система координат, O n x o y o z o - подвижная система координат, жестко связанная с телом. Пусть - единичные векторы (орты), направленные вдоль осей x o , y o , z o подвижной системы координат. Тогда радиус-вектор точки M в неподвижной системе определяется по формуле:
(1) ,
где - радиус-вектор точки O n - начала подвижной системы координат, связанной с телом.

Относительная скорость и ускорение

При относительном движении изменяются координаты x o , y o , z o точки относительно тела. А векторы являются постоянными, не зависящими от времени. Дифференцируя (1) по времени, считая постоянными, получаем формулы для относительной скорости и ускорения:
(2) ;
(3) .

Относительная скорость точки при сложном движении - это скорость точки при неподвижном положении тела (подвижной системы координат), вызванная движением точки относительно тела.

Относительное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки при неподвижном положении тела, вызванное движением точки относительно тела.

Переносная скорость и ускорение

При переносном движении изменяются векторы , определяющие положение тела. Относительные координаты точки x o , y o , z o являются постоянными. Дифференцируя (1) по времени, считая x o , y o , z o постоянными, получаем формулы для переносной скорости и ускорения:
(4) ;
(5) .

Переносная скорость точки при сложном движении - это скорость точки, жестко связанной с телом, вызванная движением тела.

Переносное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки, жестко связанной с телом, вызванное движением тела.

Производные по времени от - это скорость и ускорение начала подвижной системы координат O n : ; .

Найдем формулы для производных по времени от векторов . Для этого возьмем две произвольные точки твердого тела A и B . Их скорости связаны соотношением:

(см. страницу “Скорость и ускорение точек твердого тела ”). Рассмотрим вектор , проведенный из точки A в точку B . Тогда
.
Дифференцируем по времени и применяем предыдущую формулу:
.
Итак, мы нашли формулу для производной по времени от вектора, соединяющего две точки тела:
.
Поскольку векторы жестко связаны с телом, то их производные по времени определяются по этой формуле:
(6) , , .

Подставляем в (4) :

.
Таким образом, выражение (4) приводит к формуле для скорости точек твердого тела.

Выполняя подобные преобразования над формулой (5) , получим формулу для ускорения точек твердого тела:
,
где - угловое ускорение тела.

Абсолютная скорость и ускорение

При абсолютном движении изменяются как векторы , определяющие положение тела, так и относительные координаты точки x o , y o , z o .

Абсолютная скорость точки при сложном движении - это скорость точки в неподвижной системе координат.

Абсолютное ускорение точки при сложном движении - это ускорение точки в неподвижной системе координат.

Теорема о сложении скоростей

При составном движении абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Доказательство

Дифференцируем (1) (2) и (4) .
(1) ;
(7)
.

Теорема Кориолиса о сложении ускорений

При составном движении абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова (поворотного) ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Доказательство

Дифференцируем (7) по времени, применяя правила дифференцирования суммы и произведения. Затем подставляем (3) и (5) .
(7) .


.

В последнем члене применим (6) и (2) .

.
Тогда
.