из которого (в случае, когда все Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a_i и Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): b_i являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши - Буняковского :

Напишите отзыв о статье "Формула Бине - Коши"

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.: Наука, 1966.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. - М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р. , Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. - М.: Физматлит, 2009.

Примечания

Ссылки

Отрывок, характеризующий Формула Бине - Коши

И ещё... Природа веками создаёт там свою каменную «память» печальным событиям и людям, глубоко затронувшим её большое любящее сердце... У самого входа в Пещеру Мёртвых стоит статуя мудрого филина, столетиями охраняющего покой усопших...

Теорема (формула Коши-Бине)

Пусть, - и -матрицы соответственно, и

Другими словами, при определитель матрицы является суммой произведений всевозможных миноров порядка в на соответствующие миноры матрицы того же самого порядка.

Упражнение1. Покажем на примере

Пусть, и, тогда по формуле Коши-Бине:

Доказательство теоремы:

Так как, то можно записать

Определитель-это аддитивная и однородная функция каждого из своих столбцов. Используя этот факт для каждого из столбцов в, выражаем в виде суммы определителей:

Те члены в суммировании, которые имеют совпадающие два или более индексов, равны нулю, так как в этих случаях миноры будут иметь по крайней мере два совпадающих столбца. Таким образом, нужно рассматривать лишь те членов суммирования, в которых индексы различны. Мы распределяем эти остающиеся члены на групп по членов в каждой таким образом, чтобы в каждой группе члены отличаются лишь порядком индексов. Отметим также, что можно написать

где. Следовательно, сумма по членам, в которых -перестановка чисел, задается выражением:

Переставляя элементы так, чтобы первые индексы в возрастающем порядке, приводим это выражение к виду:

где -перестановка чисел, как очевидно. Из определителя функции определителя теперь следует, что это выражение есть просто:

Следствие. Определитель произведения двух кратных матриц равен произведению определители множителей.

Это следует из Теоремы при

Федеральное агентство по образованию

МурманскийГосударственный Педагогический Университет

Факультетприкладной математики, программирования и экономики

Кафедраалгебры, геометрии и прикладной математики

Курсоваяработа

Определитель произведения прямоугольных матриц.

Теорема Коши-Бине.

Выполнила студентка

IIкурса группыПМИ

Решоткина Наталья Николаевна

Научный руководитель:

кандидат физико-математических

наук, доцент кафедры АГ и ПМ

Мостовской Александр Павлович

Мурманск

TOCo «1-3» h z u Введение. PAGEREF _Toc169771091 h 4

Глава I. PAGEREF _Toc169771092 h 5

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц. PAGEREF _Toc169771093 h 5

Свойства сложения и умножения матриц на скаляры:PAGEREF _Toc169771094 h 7

Глава II. PAGEREF _Toc169771095 h 7

§1 Умножение матриц. PAGEREF _Toc169771096 h 7

§2 Свойства умножения матриц. PAGEREF _Toc169771097 h 8

§3 Техника матричного умножения. PAGEREF _Toc169771098 h 9

§4 Транспонирование произведения матриц. PAGEREF _Toc169771099 h 10

Глава III. PAGEREF _Toc169771100 h 10

§1 Обратимые матрицы… PAGEREF _Toc169771101 h 10

§2 Элементарные матрицы… PAGEREF _Toc169771102 h 12

Глава IV… PAGEREF _Toc169771103 h 13

§1 Определители. PAGEREF _Toc169771104 h 13

§2 Простейшие свойства определителей. PAGEREF _Toc169771105 h 14

§3 Основные свойства определителей. PAGEREF _Toc169771106 h 14

§4 Миноры и алгебраические дополнения.PAGEREF _Toc169771107 h 18

Теоремы об определителях.PAGEREF _Toc169771108 h 18

§5 Определитель произведение матриц. PAGEREF _Toc169771109 h 21

Необходимые и достаточные условия равенстваопределителя нулю… PAGEREF _Toc169771110 h 22

§6 Разбиение матриц. PAGEREF _Toc169771111 h 23

§7 Теорема (формула Бине-Коши)PAGEREF _Toc169771112 h 25

Заключение. PAGEREF _Toc169771113 h 28

Литература. PAGEREF _Toc169771114 h 30

Приложение. PAGEREF _Toc169771115 h 31

Введение

При решенииразличных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел,называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейныхуравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачикомпьютерной графики и другие инженерные задачи.

Цель даннойработы: теоретическое обоснование и необходимость практического применениятеоремы Коши-Бине:

Пусть , - и -матрицы соответственно,

Тогда

Другимисловами, при определитель матрицы является суммойпроизведений всевозможных миноров порядка в на соответствующиеминоры матрицы того же самого порядка

Работа состоит из четырех глав, содержит заключение,список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе Iрассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операциинад матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава IIпосвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонированиепроизведения двух матриц. В главе IIIрассматриваютсяобратимые и элементарные матрицы. В главе IVвводитьсяпонятие определителя квадратной матрицы,рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательствотеоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагаетсяпрограмма показывающая механизм нахождения определителя произведения двухматриц.

Глава I

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Гдеэлементы матрицы aij(1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля.Для наших целей поле будет либо множествомвсех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят,что матрица квадратная, порядка n. В общемслучаем матрица называется прямоугольной.

Каждой матрице с элементами aijсоответствует n×mматрица сэлементами aji. Она называетсятранспонированной к и обозначается через=. Строки матрицы становятсястолбцами в и столбцы матрицы становятся строками в

Матрицаназывается нулевой если все элементы равны 0:

Матрицаназывается треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главнойдиагонали равны 0

Треугольнаяматрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главнойдиагонали равны 0

Диагональнойматрица называется единичной, если все элементы расположенные на главнойдиагонали равны 1

Матрица,составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранныхстрок матрицы и нескольких выбранныхстолбцов, называется субматрицей для матрицы

Вчастности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

§2Операции над матрицами

Определимследующие операции:

I.

Сумма двух матриц с элементами и матрица С с элементами

II.

Произведениематрицы на число

III.

Произведение матрицы матрица С с элементами

IV.

поле скаляров,рассмотрим матриц над полем

Опр.Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местахрасположены одинаковые элементы. Другими словами: равна матрице

Опр.Пусть и называется столбце расположенэлемент

Опр.Пусть на матрицу называется у которой в столбце расположенэлемент умножить на матрицу нужно все элементыматрицы умножить на скаляр

Определение.Противоположной к матрице называется матрица

Свойства сложения иумножения матриц на скаляры:

1) Сложение матриц ассоциативно икоммутативно.

2)

3)

а)

б)

4)

Глава II§1 Умножение матриц

Опр.Произведением матрицы на матрицу называется матрица

Говорят,что есть скалярноепроизведение на

§2 Свойства умножения матриц

1.

Умножение матриц ассоциативно:

1) и

Доказательство:

Пусть и определено

Определимматрицы:

а)

б)

(1) матрицы, тогда имеют одинаковуюразмерность

2)Покажем, что на одинаковых местах в матрицах расположены одинаковыеэлементы

Вывод:Матрицы имеют одинаковуюразмерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы.

2.

Умножение матриц дистрибутивно

Доказательство:

так как определено и определено

размерности

Матрицы имеют одинаковуюразмерность, покажем расположение одинаковых элементов:

Вывод: На одинаковых местах расположены одинаковыеэлементы.

3. матрицы, тодоказательство проводим аналогично свойству 2.

4.

Доказательство:

5.Умножение матриц в общем случае не коммутативно. Рассмотрим это на примере:

§3 Техника матричногоумножения

поле скаляров,

Свойства:

1)

Произведение можно рассматривать,как результат умножения столбцов матрицы слева и как результатумножения строк матрицы на справа.

2)

Пусть матрица

Пусть коэффициенты которойслужат элементы матрицы

3)

Столбцы матрицы §4 Транспонированиепроизведения матриц

поле скаляров,

если

Доказательство:

1) Пусть

- размерности

2) т.е

на столбец

Глава III§1 Обратимые матрицы

поле скаляров,множество

Определение.Квадратная матрица порядка называется единичнойматрицей

Пусть

Теорема 1

выполняется

Доказательство:

Изэтого следует является единичнойматрицей. Она выполняет роль единицы при умножении матриц.

Определение. Квадратная матрица так, что выполняютсяусловия

Матрица называется обратной к обозначается обратная к

Теорема 2

Если

Доказательство:

Пусть дана матрица т.е.

Обозначение:Множество всех обратимых матриц порядка над полем обозначается

Теорема 3

Справедливыутверждения:

1) алгебра

2) группа

Доказательство:

а)Пусть

обратные к

Аналогично: обратимая матрица т.е

б)

в) обратима т.е

2)Докажем второе утверждение, что группа. Для этогопроверим аксиомы групп:

1)

2)

3)

группа

Следствие:

1)

Произведение обратимых матриц есть обратимая матрица

2)

Если обратима, то

3)

4)

§2 Элементарные матрицы

Пусть поле скаляров

Определение.Элементарной матрицей называется матрица, полученнаяиз единичной матрицы в результате одного изследующих элементарных преобразований:

1)

Умножение строки (столбца) на скаляр

2)

Прибавление к какой либо строке (столбцу) другой строки(столбца), умноженный на скаляр

Обозначение:

Пример: Элементарные матрицы порядка 2

Обозначение:

Глава IV§1 Определители

Определитель матрицы умноженная на знак,соответствующей подстановки.

Определительвторого порядка равен произведению элементов главной диагонали вычестьпроизведение элементов на побоичной.

Для

Получилиправило треугольника:

SHAPE * MERGEFORMAT

§2 Простейшие свойства определителей

1)

Определитель матрицы с нулевой строкой (столбцом)равен нулю

2)

Определитель треугольной матрицы равен произведениюэлементов, расположенных на главной диагонали

Определительдиагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главнойдиагонали. Матрица диагональная если всеэлементы, расположенные вне главной диагонали равны нулю.

Пусть произведение двух прямоугольных матриц есть матрица квадратная.

Это будет в том и только в том случае, когда не только число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, но и число строк первой равно числу столбцов второй:

В этой ситуации имеет место следующая теорема, называемая теоремой Бине - Коши.

Теорема 3. Определитель матрицы АВ равен нулю, если , и равен сумме произведений всех миноров порядка матрицы А на соответствующие миноры m-го порядка матрицы В, если .

Соответствие миноров понимается здесь в следующем смысле: номера столбцов матрицы А, составляющие минор, совпадают с номерами строк матрицы В, из которых составляется соответствующий минор.

В формульной записи:

где - минор матрицы А, составленный из столбцов с номерами - минор матрица В, составленный из строк с номерами

Теорему Бине - Коши можно доказать аналогично доказательству теоремы об определителе произведения двух квадратных матриц (которая, конечно, есть частный случай теоремы Бине - Коши). Однако при этом пришлось бы воспользоваться теоремой Лапласа в общей формулировке.

Приведем доказательство, основанное на другой идее. Запишем подробно

Теперь применим свойство линейности определителя к первому столбцу. Получим

где у всех определителей столбцы, начиная со второго, такие же, как в исходной форме.

Применим теперь свойство линейности ко вторым столбцам определителей, составляющих эту сумму. Получим

где индексы пробегают независимо значения . Здесь у всех определителей столбцы, начиная с третьего, такие же, как в исходной форме .

Тем же способом продолжаем разложение определителя на сумму определителей, применяя свойство линейности к третьим, столбцам. Получим в результате

где индексы принимают независимо друг от друга все значения от 1 до . Здесь всего слагаемых. Вынесем из каждого столбца общий множитель. Получим

Если то индексам будет «настолько тесно», что среди их значений будет находиться хотя бы одна пара равных. Но тогда все определители, входящие в слагаемые будут равны нулю как имеющие равные столбцы. Поэтому при .

Пусть теперь Если среди значений индексов найдется хотя бы одна пара равных, то соответствующее слагаемое равно нулю. Все такие слагаемые можно отбросить и останется сумма, распространенная на попарно различные значения индексов . Наборы таких значений могух отличаться как составом значений, так и порядком, если состав один и тот же. Такие наборы носят название размещений. Обозначим через набор значений индексов он, расположенных в порядке возрастания: так что при одном и том же составе значения индексов будут образовывать перестановки элементов

Проведем сначала суммирование по всевозможным наборам одинакового состава, т. е. по перестановкам элементов а затем сложим получившиеся суммы по возможным составам.

где во внутренней сумме суммирование ведется по всем наборам составляющим перестановки чисел пределах внутренней суммы определители отличаются только порядком столбцов. Приведя столбцы в порядок возрастания значений индексов, получим:

Во все слагаемые внутренней суммы входит сомножителем один и тот же определитель. Его можно вынести за знак суммьп

После вынесения минора матрицы А за знак внутренней суммы осталось драгоценное наследство в виде множителя наличие которого позволяет заключить, что внутренняя сумма равна определителю

Действительно, она есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы этого определителя, взятых по одному из каждой строки (ведь (ось ) пробегает всевозможные перестановки чисел ) и по одному из каждого столбца.