बहुपदों के बहुपदों का अपघटन तीन-बासी है। गुणक के लिए स्क्वायर ट्रिपल का अपघटन। एक वर्ग समीकरण को हल करने के साथ उदाहरण

यह अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए सबसे प्राथमिक तरीकों में से एक है। इस विधि को लागू करने के लिए, हमें गुणा के रिश्तेदार के वितरण कानून को याद करने दें (इन शब्दों से डरो मत, आपको निश्चित रूप से यह कानून पता है, मैं बस उसका नाम भूल सकता हूं)।

कानून कहता है: तीसरे नंबर पर दो संख्याओं की मात्रा को गुणा करने के लिए, आपको प्रत्येक संरेखण को इस संख्या में गुणा करने की आवश्यकता है और अन्य शब्दों में प्राप्त परिणाम फोल्ड किए जाते हैं।

आप विपरीत ऑपरेशन भी कर सकते हैं, यह बिल्कुल हमारे लिए यह विपरीत संचालन है और हमें रूचि देता है। जैसा कि नमूना से देखा जा सकता है, सामान्य कारक ए, को ब्रैकेट से बाहर ले जाया जा सकता है।

इस तरह के एक ऑपरेशन दोनों चर के साथ किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, और संख्याओं के साथ :.

हां, यह बहुत ही प्राथमिक उदाहरण है, साथ ही पिछले उदाहरण, संख्या के अपघटन के साथ, क्योंकि हर कोई उस संख्या को जानता है, और इसमें विभाजित हैं, और क्या होगा यदि आपको कोई अभिव्यक्ति अधिक जटिल हो गई है:

कैसे पता लगाने के लिए कि, उदाहरण के लिए, संख्या से विभाजित है, क्या यह कैलकुलेटर के साथ करता है, क्या कोई भी सक्षम हो सकता है, और इसके बिना कमजोर हो सकता है? और इसके लिए विभाज्यता के संकेत हैं, ये संकेत वास्तव में जानने के लायक हैं, वे आपको यह समझने में मदद करेंगे कि सामान्य गुणक को ब्रैकेट से बाहर निकाला जाना चाहिए या नहीं।

विभाज्यता के संकेत

उन्हें याद रखना इतना मुश्किल नहीं है, सबसे अधिक संभावना है कि उनमें से अधिकतर परिचित थे, और कुछ एक नई उपयोगी खोज होगी, तालिका में अधिक:

नोट: तालिका में 4 से विभाज्यता का संकेत नहीं है। यदि दो अंतिम आंकड़े 4 में विभाजित हैं, तो संपूर्ण संख्या 4 में विभाजित है।

आपको संकेत कैसे पसंद है? मैं उसे याद रखने की सलाह देता हूं!

खैर, आइए अभिव्यक्ति पर वापस जाएं, शायद यह एक ब्रैकेट के लिए पर्याप्त हो सकता है और उसके साथ पर्याप्त हो सकता है? नहीं, गणितज्ञों को सरल बनाने के लिए प्रथागत हैं, इसलिए पूर्ण रूप से, क्या लिया गया है सब कुछ!

और इसलिए, igrek के साथ, सब कुछ स्पष्ट है, और अभिव्यक्ति के संख्यात्मक भाग के साथ क्या? दोनों संख्याएं विषम हैं, इसलिए यह विभाजित करना संभव नहीं होगा,

आप विभाज्यता के संकेत का उपयोग कर सकते हैं, संख्याओं की मात्रा, और जिनमें से संख्या बराबर है, और इसमें विभाजित है, इसका मतलब है कि यह बांटा गया है।

इसे जानकर, आप प्राप्त होने पर विभाजन के परिणामस्वरूप कॉलम में सुरक्षित रूप से विभाजित कर सकते हैं (विभाज्यता के संकेत उपयोगी थे!)। इस प्रकार, संख्या जिसे हम ब्रैकेट ले सकते हैं, साथ ही साथ और परिणामस्वरूप हमारे पास है:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपने सबकुछ सही रखा है, आप अपघटन की जांच कर सकते हैं, गुणा कर सकते हैं!

इसके अलावा, सामान्य गुणक को बिजली अभिव्यक्तियों में लिया जा सकता है। यहां, उदाहरण के लिए, एक सामान्य गुणक देखें?

इस अभिव्यक्ति के सभी सदस्यों में Xers है - हम सहन करते हैं, हर किसी को विभाजित किया जाता है - हम फिर से लेते हैं, हम देखते हैं कि क्या हुआ :.

2. संक्षिप्त गुणा के सूत्र

संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का सिद्धांत रूप से पहले से ही उल्लेख किया गया है यदि आपको शायद ही कभी याद है कि यह क्या है, तो आपको उन्हें स्मृति में ताज़ा करना चाहिए।

खैर, यदि आप अपने आप को बहुत चालाक और जानकारी के इस तरह के बादल को पढ़ने के लिए बहुत आलसी मानते हैं, तो बस आगे पढ़ें, सूत्र को देखें और तुरंत उदाहरणों के लिए प्रयास करें।

इस अपघटन का सार आपके सामने मौजूद मौजूदा अभिव्यक्ति में एक निश्चित सूत्र को नोटिस करना और इसे प्राप्त करने और इसे प्राप्त करने के लिए, कुछ और कुछ का उत्पाद, यह सब अपघटन है। निम्नलिखित सूत्र हैं:

और अब कोशिश करें, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके गुणक पर निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को फैलाएं:

लेकिन क्या होना चाहिए:

जैसा कि आप ध्यान में रखते हैं, ये सूत्र गुणक के अपघटन का एक बहुत ही प्रभावी तरीका हैं, यह हमेशा उपयुक्त नहीं होता है, लेकिन यह बहुत उपयोगी हो सकता है!

3. समूह या समूह विधि

और यहाँ एक और वफादार है:

तो आप इसके साथ क्या करेंगे? ऐसा लगता है कि कुछ और कुछ और पर विभाजित किया गया है

लेकिन सभी एक साथ एक बात, अच्छी तरह से विभाजित नहीं करते हैं कोई सामान्य कारक नहीं हैकैसे नहीं देखता, इसलिए छोड़ें, गुणक के लिए बाहर नहीं ले रहे हैं?

यहां एक मिश्रण दिखाने के लिए आवश्यक है, और इस गंध का नाम एक समूह है!

यह तब लागू होता है जब सभी सदस्यों के कोई सामान्य विभाजक नहीं होते हैं। इसे ग्रुपिंग के लिए आवश्यक है सामान्य डिवाइडर होने वाले शब्दों के समूह खोजें और उन्हें पुनर्व्यवस्थित करने के लिए ताकि प्रत्येक समूह से एक और एक ही गुणक प्राप्त किया जा सके।

कुछ स्थानों में पुनर्व्यवस्थित करना जरूरी नहीं है, लेकिन यह स्पष्टता देता है, स्पष्टता के लिए ब्रैकेट में अभिव्यक्ति के कुछ हिस्सों को लेना संभव है, यह जितना चाहें उतना स्थापित करने के लिए मना नहीं किया गया है, मुख्य बात भयभीत नहीं है।

क्या यह सब स्पष्ट नहीं है? मैं उदाहरण पर समझाऊंगा:

बहुपद में - हम एक सदस्य डालते हैं - एक सदस्य के बाद - हमें मिलता है

हम पहले दो सदस्यों को एक अलग ब्रैकेट में एक साथ समूहित करते हैं और तीसरे और चौथे सदस्यों को समूह भी देते हैं, मुझे ब्रैकेट के लिए "माइनस" संकेत प्राप्त होगा, हमें मिलता है:

और अब हम दो "ढेर" में से प्रत्येक पर अलग से देखते हैं, जिसके लिए हमने ब्रैकेट के साथ अभिव्यक्ति को तोड़ दिया।

यह चाल ऐसी बगों को तोड़ना है, जिससे अधिकतम गुणक को पूरा करना होगा, या, इस उदाहरण में, सदस्यों को समूहबद्ध करने का प्रयास करें ताकि एक ब्रैकेट के लिए गुणक की सुविधा के बाद, हम एक ही अभिव्यक्तियां बने रहे।

दोनों कोष्ठक से, हम पहले ब्रैकेट से सदस्यों के सामान्य गुणक को और दूसरे से, हमें मिलते हैं:

लेकिन यह एक अपघटन नहीं है!

पीगधा अपघटन केवल गुणा होना चाहिएजब तक हमारे पास एक बहुपद है, तब तक सिर्फ दो भागों में विभाजित ...

लेकिन अ! इस बहुपद के पास एक सामान्य गुणक है। यह

ब्रैकेट के लिए और अंतिम कार्य प्राप्त करें

बिंगो! जैसा कि आप देख सकते हैं, पहले से ही एक टुकड़ा और ब्रैकेट से बाहर है, न तो जोड़, न ही घटाव, अपघटन पूरा हो गया है, क्योंकि हमारे पास ब्रैकेट के लिए और कुछ नहीं है।

यह चमत्कारिक प्रतीत हो सकता है कि कोष्ठक के लिए गुणक बनाने के बाद, हमने ब्रैकेट में एक ही अभिव्यक्ति छोड़ी, जो फिर से हमने ब्रैकेट के पीछे किया।

और यह एक चमत्कार नहीं है, तथ्य यह है कि पाठ्यपुस्तकों और ईई में परीक्षा में उदाहरण विशेष रूप से बनाए जाते हैं ताकि सरलीकरण के लिए कार्यों में अधिक अभिव्यक्ति या गुणन सही दृष्टिकोण के साथ, जब आप बटन दबाते हैं तो इसे आसानी से सरल और आसानी से ढह गया होता है, यहां, यहां प्रत्येक अभिव्यक्ति में एक ही बटन की तलाश करें।

कुछ विचलित, एक सरलीकरण के साथ हमारे बारे में क्या? जटिल बहुपद ने एक सरल रूप लिया :.

सहमत, इतना बोझिल नहीं, यह कैसा था?

4. एक पूर्ण वर्ग का अलगाव।

कभी-कभी मौजूदा बहुपद को संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का उपयोग करने के लिए आवश्यक होता है, जो एक राशि या दो सदस्यों के अंतर के रूप में इसकी शर्तों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है।

इस मामले में, आपको इसे करना होगा, उदाहरण से सीखें:

इस फॉर्म में बहुपद संक्षिप्त गुणा के सूत्रों का उपयोग करके विघटित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे परिवर्तित किया जाना चाहिए। शायद, पहले यह स्पष्ट नहीं होगा कि किसी सदस्य को तोड़ने के लिए क्या है, लेकिन समय के साथ आप तुरंत संक्षिप्त गुणा के सूत्रों को देखना सीखेंगे, भले ही वे पूरी तरह से नहीं हैं, और यह काफी जल्दी निर्धारित नहीं होगा, जो कि नहीं है, जो नहीं है पूर्ण सूत्र में पूरी तरह से पर्याप्त है, लेकिन अभी के लिए - सीखें, छात्र, या बल्कि एक स्कूली बॉय।

इसके बजाय अंतर के वर्ग के पूर्ण सूत्र के लिए। एक अंतर के रूप में तीसरे सदस्य की कल्पना करो, हमें मिलता है: कोष्ठक में अभिव्यक्ति के लिए आप अंतर के वर्ग के सूत्र को लागू कर सकते हैं (वर्गों के अंतर से भ्रमित नहीं होना चाहिए !!!)हम: इस अभिव्यक्ति के लिए, आप वर्ग अंतर के सूत्र को लागू कर सकते हैं (अंतर के वर्ग के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए !!!), मैं जमा करता हूं, कैसे, हमें मिलता है :.

अभिव्यक्ति हमेशा कारकों को लागू नहीं किया जाता है और अपघटन से पहले कम से कम और कम दिखता है, लेकिन इस रूप में यह अधिक जंगम हो जाता है, इस अर्थ में कि आप संकेतों और अन्य गणितीय बकवास के परिवर्तन के बारे में भाप नहीं सकते हैं। खैर, यहां एक स्वतंत्र निर्णय के लिए, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को गुणक पर विघटित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण:

उत्तर:

5. गुणक पर स्क्वायर तीन decar का अपघटन

कारकों पर एक वर्ग तीन अपघटन के अपघटन पर अपघटन के उदाहरणों में आगे देखें।

गुणक के बहुपद के अपघटन के 5 तरीकों के उदाहरण

1. कोष्ठक के लिए एक आम कारक को हटा रहा है। उदाहरण।

क्या आपको याद है कि वितरण कानून क्या है? यह एक नियम है:

उदाहरण:

बहुपदों को मल्टीप्लियर भेजना।

फेसला:

एक और उदाहरण:

गुणक पर फैल गया।

फेसला:

यदि शब्द पूरी तरह से ब्रैकेट के पीछे समाप्त हो गया है, तो इकाई इसके बजाय कोष्ठक में बनी हुई है!

2. संक्षिप्त गुणा के सूत्र। उदाहरण।

अक्सर, हम वर्गों, क्यूब्स के अंतर और क्यूब्स की मात्रा के सूत्रों के अंतर का उपयोग करते हैं। क्या आपको ये सूत्र याद हैं? यदि नहीं, तो तत्काल विषय दोहराएं!

उदाहरण:

गुणक पर अभिव्यक्ति का अन्वेषण करें।

फेसला:

इस अभिव्यक्ति में, क्यूब्स के अंतर को जानना आसान है:

उदाहरण:

फेसला:

3. समूह विधि। उदाहरण

कभी-कभी इसे इस तरह से बदला जा सकता है कि एक ही गुणक को पड़ोसी शर्तों की प्रत्येक जोड़ी से आवंटित किया जा सकता है। यह सामान्य कारक ब्रैकेट द्वारा पहुंचा जा सकता है और प्रारंभिक बहुपद एक काम में बदल जाएगा।

उदाहरण:

बहु-मल्टीिस्ट्रोपर्स फैलाएं।

फेसला:

निम्नानुसार घटकों को समझना:
.

पहले समूह में, मैं ब्रैकेट के लिए एक सामान्य गुणक लाऊंगा, और दूसरे में -:
.

अब सामान्य कारखाने को ब्रेसिज़ के लिए भी जमा किया जा सकता है:
.

4. उच्च वर्ग अलगाव की विधि। उदाहरण।

यदि बहुपद को दो अभिव्यक्तियों के वर्गों के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो यह केवल संक्षिप्त गुणा (वर्गों के अंतर) के सूत्र को लागू करने के लिए ही रहेगा।

उदाहरण:

बहु-मल्टीिस्ट्रोपर्स फैलाएं।

फेसला:उदाहरण:

\\ BEGIN (सरणी) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ overbrace (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (वर्ग \\ 1 \\ ((छोड़ दिया गया) (X + 3 \\ दाएं) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((\\ Left (x + 3 \\ दाएं) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ Left (X + 3 + 4 \\ राइट) \\ Left (x + 3-4 \\ दाएं) \u003d \\ Left (X + 7 \\ दाएं) \\ Left (X-1 \\ राइट) \\\\
\\ END (सरणी)

बहु-मल्टीिस्ट्रोपर्स फैलाएं।

फेसला:

\\ BEGIN (सरणी) (* (35) (l))
((x) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ overbrece (((x) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ) +4) _ (वर्ग \\ अंतर ((\\ Left (((x) ^ (2)) - 2 \\ दाएं)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((\\ Left ((x) ^ (2)) - 2 \\ दाएं) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ Left ((x) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ राइट) \\ Left (((x) ^ (2)) - 2- \\ sqrt (5) \\ राइट) \\\\
\\ END (सरणी)

5. गुणक पर स्क्वायर तीन decar का अपघटन। उदाहरण।

स्क्वायर थ्री-मेलेन एक बहुपद दृश्य है जहां अज्ञात कुछ संख्याएं हैं, और।

वेरिएबल के मान जो वर्ग तीन-टुकड़े को शून्य में बदलते हैं उन्हें तीन शॉट्स की जड़ें कहा जाता है। नतीजतन, तीन-शॉट की जड़ें वर्ग समीकरण की जड़ें हैं।

प्रमेय।

उदाहरण:

मल्टीप्लियर स्क्वायर थ्रेस्टी पर फैलाएं :.

सबसे पहले, हम एक वर्ग समीकरण हल करते हैं: अब आप कारकों पर इस वर्ग तीन अपघटन के अपघटन को रिकॉर्ड कर सकते हैं:

अब आपकी राय ...

हमने विस्तार से चित्रित किया कि बहुपद को गुणक कैसे रखना है।

हमने बहुत सारे उदाहरणों का नेतृत्व किया कि इस अभ्यास में इसे कैसे किया जाए, नुकसान की ओर इशारा किया, समाधान दिया ...

आप क्या कहते हैं?

आप इस लेख को कैसे पसंद करते हैं? क्या आप इन तकनीकों का उपयोग करते हैं? क्या आप उनके सार को समझते हैं?

टिप्पणियों में लिखें और ... परीक्षा के लिए तैयार!

अब तक, वह आपके जीवन में सबसे महत्वपूर्ण है।

एक वर्ग तीन-मेलेन का अपघटन सी 5 पैरामीटर के साथ असमानताओं को हल करने पर यह उपयोगी हो सकता है। इसके अलावा, यदि आप वियतका के प्रमेय के मालिक हैं तो कई बी 13 टेक्स्ट कार्यों को बहुत तेजी से हल किया जाएगा।

यह प्रमेय, ज़ाहिर है, 8 वीं कक्षा के दृष्टिकोण से देखा जा सकता है, जिसमें यह पहली बार है। लेकिन हमारा काम परीक्षा के लिए अच्छी तरह से तैयार होना है और सीखना सीखें कि परीक्षा के कार्यों को यथासंभव कुशलतापूर्वक कैसे हल किया जाए। इसलिए, इस पाठ में, एक दृष्टिकोण स्कूल से थोड़ा अलग माना जाता है।

वियतनाम प्रमेय पर समीकरण का मूल सूत्र जानें (या कम से कम देखा गया) कई:

$$ x_1 + x_2 \u003d - \\ frac (b) (a), \\ quad x_1 · x_2 \u003d \\ frac (c) (a), $ $

`ए, बी 'और` सी` - स्क्वायर तीन-जूता` कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी' के गुणांक।

यह जानने के लिए कि कैसे आसानी से सिद्धांत का उपयोग करना है, आइए समझें कि यह कहां से आ रहा है (यह वास्तव में याद रखना आसान होगा)।

आइए एक समीकरण `कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी \u003d 0` है। आगे की सुविधा के लिए, हम इसे `` `पर विभाजित करते हैं: x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d 0`। इस तरह के एक समीकरण एक दिए गए वर्ग समीकरण द्वारा बुलाया गया।

एक महत्वपूर्ण विचार सोचा: किसी भी वर्ग बहुपद, जिसमें जड़ें हैं, कोष्ठक पर विघटित किया जा सकता है। मान लीजिए कि हमारे को `x ^ 2 + \\ frac (b) (a) x + \\ frac (c) (a) \u003d (x + k) (x + l)` `` `` और `l के रूप में दर्शाया जा सकता है `कुछ स्थिरांक हैं।

चलो देखते हैं कि कैसे ब्रैकेट का खुलासा किया जाएगा:

$$ (x + k) (x + l) \u003d x ^ 2 + kx + lx + kl \u003d x ^ 2 + (k + l) x + kl। $ $

इस प्रकार, `k + l \u003d \\ frac (b) (a), kl \u003d \\ frac (c) (a)`।

यह क्लासिक व्याख्या से थोड़ा अलग है विएटा प्रमेय- हम समीकरण की जड़ों की तलाश में हैं। मैं इसके लिए शर्तों की तलाश करने का प्रस्ताव करता हूं कोष्ठक पर विघटन - इसे सूत्र से ऋण के बारे में याद रखने की आवश्यकता नहीं है (इसका मतलब `x_1 + x_2 \u003d - \\ frac (b) (ए)`) है। यह दो ऐसी संख्याओं को चुनने के लिए पर्याप्त है, जिसका योग औसत गुणांक के बराबर है, और उत्पाद एक नि: शुल्क सदस्य है।

अगर हमें समीकरणों के समाधान की आवश्यकता है, तो यह स्पष्ट है: `x \u003d -k` और` x \u003d -l` की जड़ें (इन मामलों में से एक कोष्ठक में शामिल हो जाएगा, फिर यह शून्य और सभी अभिव्यक्ति होगी )।

उदाहरण पर एल्गोरिदम दिखाएं, ब्रैकेट के लिए एक वर्ग बहुपद कैसे रखें।

उदाहरण पहला है। गुणक के लिए स्क्वायर तीन-शटर के अपघटन का एल्गोरिदम

पथ हमारे पास `x ^ 2 + 5x + 4` के एक चौथाई तीन है।

यह कम हो गया है (`x ^ 2` का गुणांक एक के बराबर है)। उसकी जड़ें हैं। (वफादारी के लिए, आप भेदभाव का अनुमान लगा सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह अधिक शून्य है।)

आगे कदम (उन्हें सभी प्रशिक्षण कार्यों को करने के द्वारा सीखने की आवश्यकता है):

1. निम्न प्रविष्टि चलाएं: $$ x ^ 2 + 5x + 4 \u003d (x \\ ldots) (x \\ ldots)। $$। अंक के बजाय, खाली स्थान छोड़ दें, हम उपयुक्त संख्या और संकेत जोड़ देंगे।
2. सभी संभावित विकल्पों पर विचार करें, मैं दो संख्याओं के काम पर संख्या `4` को कैसे विघटित कर सकता हूं। हमें समीकरण की जड़ों पर "उम्मीदवार" की एक जोड़ी मिलती है: `2, 2` और 1, 4`।
3. आवृत्ति किस जोड़ी से आप औसत अनुपात प्राप्त कर सकते हैं। जाहिर है, यह `1, 4`।
4. $$ x ^ 2 + 5x + 4 \u003d (x \\ quad 4) (x \\ quad 1) $$ लिखें।
5. अगला चरण संख्याओं के सामने संकेतों को रखना है।

   कैसे समझें और हमेशा के लिए याद रखें, कोष्ठक में संख्याओं के सामने क्या संकेत होना चाहिए? उन्हें प्रकट करने की कोशिश करें (कोष्ठक)। पहली डिग्री में `x` के सामने गुणांक '(± 4 ± 1)` (अब तक हम संकेत नहीं जानते - आपको चुनने की जरूरत है), और यह' 5` के बराबर होना चाहिए। जाहिर है, $$ x ^ 2 + 5x + 4 \u003d (x + 4) (x + 1) $$ के दो फायदे होंगे।

   इस ऑपरेशन को कई बार करें (हैलो, प्रशिक्षण कार्य!) और इसके साथ कोई और समस्या नहीं होगी।

यदि आपको समीकरण के x ^ 2 + 5x + 4` को हल करने की आवश्यकता है, तो अब उनका निर्णय मुश्किल नहीं होगा। उनकी जड़ें: `-4, -1`।

दूसरे का एक उदाहरण। विभिन्न पात्रों के गुणांक के साथ स्क्वायर तीन-मेलेन कारखानों का अपघटन

आइए समीकरण `x ^ 2-x-2 \u003d 0` को हल करने की आवश्यकता है। भेदभावपूर्ण सकारात्मक।

हम एल्गोरिदम के अनुसार जाते हैं।

1. $ $ x ^ 2-x-2 \u003d (x \\ ldots) (x \\ ldots)। $ $
2. संपूर्ण कारकों के लिए दो अपघटन केवल एक ही है: `2 · 1`।
3. हम आइटम को छोड़ देते हैं - कुछ भी नहीं चुनें।
4. $ $ x ^ 2-x-2 \u003d (x \\ quad 2) (x \\ quad 1)। $ $
5. हमारी संख्या का कार्य नकारात्मक है (`-2` - मुक्त सदस्य), इसका मतलब है कि उनमें से एक नकारात्मक होगा, और दूसरा सकारात्मक है।
   चूंकि उनकी राशि `-1` (गुणांक 'के साथ गुणांक) है, फिर नकारात्मक` 2` होगा (अंतर्ज्ञानी स्पष्टीकरण - दो से अधिक संख्याएं, यह नकारात्मक पक्ष में "खींचता" से अधिक मजबूत है)। हम $$ x ^ 2-x-2 \u003d (x - 2) (x + 1) प्राप्त करते हैं। $ $

तीसरा उदाहरण एक वर्ग तीन-मेलेन का अपघटन

समीकरण `x ^ 2 + 5x -84 \u003d 0`।

1. $ $ X + 5x-84 \u003d (x \\ ldots) (x \\ ldots)। $ $
2. अपघटन 84 पूरे कारकों के लिए: `4 · 21, 6 · 14, 12 · 7, 2 · 42`।
3. चूंकि हमें संख्याओं के अंतर (या राशि) की आवश्यकता है, तो हम `7, 12` की एक जोड़ी के लिए उपयुक्त होंगे।
4. $ $ x + 5x-84 \u003d (x \\ quad 12) (x \\ quad 7)। $ $
5. $ $ x + 5x-84 \u003d (x + 12) (x - 7)। $ $

मुझे उम्मीद है इस वर्ग के अपघटन को ब्रैकेट पर तीन-कटा हुआ समझ में

यदि आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, तो यह है: `12, -7`।

प्रशिक्षण के लिए कार्य

मैं आपके ध्यान में कुछ उदाहरण लाता हूं जो आसान हैं वियतनाम प्रमेय की मदद से हल किया गया।(गणित पत्रिका से लिया गया उदाहरण, 2002.)

1. `X ^ 2 + x-2 \u003d 0`
2. `X ^ 2-x-2 \u003d 0`
3. `X ^ 2 + x-6 \u003d 0`
4. `X ^ 2-x-6 \u003d 0`
5. `X ^ 2 + x-12 \u003d 0`
6. `X ^ 2-x-12 \u003d 0`
7. `X ^ 2 + x-20 \u003d 0`
8. `x ^ 2-x-20 \u003d 0`
9. `X ^ 2 + x-42 \u003d 0`
10. `X ^ 2-x-42 \u003d 0`
11. `X ^ 2 + x-56 \u003d 0`
12. `x ^ 2-x-56 \u003d 0`
13. `X ^ 2 + x-72 \u003d 0`
14. `x ^ 2-x-72 \u003d 0`
15. `X ^ 2 + x-110 \u003d 0`
16. `X ^ 2-x-110 \u003d 0`
17. `X ^ 2 + x-420 \u003d 0`
18. `X ^ 2-x-420 \u003d 0`

लेख लिखने के कुछ साल बाद, 150 कार्यों का संग्रह वियतनाम प्रमेय पर वर्ग बहुपद को विघटित करने के लिए दिखाई दिया।

टिप्पणियों में प्रश्न पूछें और पूछें!

कारकों को विघटित करने के लिए, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना आवश्यक है। इसे कम करने के लिए यह आवश्यक है। बहुपद के अपघटन को समझ में आता है जब इसकी डिग्री दूसरे से कम नहीं होती है। पहली डिग्री के साथ बहुपद को रैखिक कहा जाता है।

लेख अपघटन, सैद्धांतिक नींव और बहुपदों के बहुपदों के विस्तार के तरीकों की सभी अवधारणाओं को प्रकट करेगा।

सिद्धांत

जब एक डिग्री एन के साथ कोई बहुपद, एक फॉर्म पी एन एक्स \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + होना। । । + ए 1 एक्स + ए 0, रैखिक गुणक (एक्स - xi) के एक और एन की पुरानी डिग्री के साथ निरंतर कारक के साथ एक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करें, i \u003d 1, 2, ..., एन, फिर पीएन (एक्स) \u003d ए (एक्स - एक्सएन) (एक्स - एक्सएन - 1) ·। । । · (एक्स - एक्स 1), जहां एक्स I, I \u003d 1, 2, ..., एन बहुपद की जड़ें हैं।

प्रमेय जटिल प्रकार x i, i \u003d 1, 2, ..., एन और जटिल गुणांक के लिए एक के, के \u003d 0, 1, 2, ..., एन के लिए इरादा है। यह किसी भी अपघटन का आधार है।

जब एक के गुणांक एक के, के \u003d 0, 1, 2, ..., एन मान्य संख्या हैं, तो जटिल जड़ें जो जोड़े के साथ मिलती हैं। उदाहरण के लिए, रूट्स x 1 और x 2 फॉर्म पी एन एक्स \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + के बहुपद से संबंधित है। । । + ए 1 एक्स + ए 0 को व्यापक रूप से संयुग्मित माना जाता है, फिर अन्य जड़ों मान्य हैं, हम यहां से प्राप्त करते हैं कि बहुपद फॉर्म पी एन (एक्स) \u003d ए एन (एक्स - एक्स एन) (एक्स - एक्स एन - 1) लेता है। । । · (X - x 3) x 2 + p x + q, जहां x 2 + p x + q \u003d (x - x 1) (x - x 2)।

टिप्पणी

बहुपद की जड़ों को दोहराया जा सकता है। बीजगणित के प्रमेय के प्रमाण पर विचार करें, मंट के प्रमेय से प्रभाव।

बीजगणित का मुख्य प्रमेय

डिग्री एन के साथ किसी भी बहुपद में कम से कम एक रूट है।

प्रमेय bezu

फॉर्म पी एन एक्स \u003d ए एन एक्स एन + ए एन के बहुपद के विभाजन के बाद 1 एक्स एन - 1 + था। । । + ए 1 एक्स + ए 0 ऑन (एक्स-एस), फिर हमें अवशेष मिलता है जो पॉइंट एस पर बहुपद के बराबर होता है, फिर हमें मिलता है

पी एन एक्स \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। । । + ए 1 एक्स + ए 0 \u003d (एक्स-एस) · क्यू एन - 1 (एक्स) + पी एन (एस), जहां क्यू एन - 1 (एक्स) डिग्री एन -1 के साथ बहुपद है।

प्रमेय का परिणाम

जब पॉलिनोमियल पी एन (एक्स) की जड़ को एस माना जाता है, तो पी एन एक्स \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 +। । । + ए 1 एक्स + ए 0 \u003d (एक्स - एस) · क्यू एन - 1 (एक्स)। समाधान का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने पर यह जांच पर्याप्त है।

स्क्वायर तीन-सदमे गुणक के लिए अपघटन

एक एक्स 2 + बी एक्स + सी फॉर्म के स्क्वायर थ्रीफोल्ड को रैखिक गुणक पर विघटित किया जा सकता है। फिर हमें वह x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) मिलता है, जहां x 1 और x 2 जड़ें (जटिल या मान्य) हैं।

यह देखा जा सकता है कि बाद में स्क्वायर समीकरण को हल करने के लिए अपघटन को कम किया जाता है।

उदाहरण 1।

गुणक पर स्क्वायर तीन-शॉट्स का निर्धारण।

फेसला

समीकरण 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 0 की जड़ों को ढूंढना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, सूत्र के अनुसार भेदभाव के मूल्य को ढूंढना आवश्यक है, फिर हम डी \u003d (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 \u003d 9 प्राप्त करते हैं। यहां से हमारे पास यह है

x 1 \u003d 5 - 9 2 · 4 \u003d 1 4 x 2 \u003d 5 + 9 2 · 4 \u003d 1

यहां से हम 4 x 2 - 5 x + 1 \u003d 4 x - 1 4 x - 1 प्राप्त करते हैं।

चेक करने के लिए, आपको ब्रैकेट प्रकट करने की आवश्यकता है। फिर हमें फॉर्म की अभिव्यक्ति मिलती है:

4 x - 1 4 x - 1 \u003d 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 \u003d 4 x 2 - 5 x + 1

जांच के बाद, हम प्रारंभिक अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं। यही है, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि अपघटन सही है।

उदाहरण 2।

स्क्वायर तीन-चयनित प्रजातियों के गुणक पर विस्तार करें 3 x 2 - 7 x - 11।

फेसला

हम यह प्राप्त करते हैं कि फॉर्म 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 के परिणामी वर्ग समीकरण की गणना करना आवश्यक है।

जड़ों को खोजने के लिए, भेदभाव के मूल्य को निर्धारित करना आवश्यक है। हमें वह मिलता है

3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 0 डी \u003d (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) \u003d 181 x 1 \u003d 7 + d 2 · 3 \u003d 7 + 181 6 x 2 \u003d 7 - d 2 · 3 \u003d 7 - 181 6

यहां से हम 3 x 2 - 7 x - 11 \u003d 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 3।

गुणक पर एक बहुपद 2 x 2 + 1 का निर्धारण।

फेसला

अब आपको स्क्वायर समीकरण 2 x 2 + 1 \u003d 0 को हल करने और इसकी जड़ें हल करने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

2 x 2 + 1 \u003d 0 x 2 \u003d - 1 2 x 1 \u003d - 1 2 \u003d 1 2 · i x 2 \u003d - 1 2 \u003d - 1 2 · i

इन जड़ों को व्यापक रूप से संयुग्मित किया जाता है, इसका मतलब है कि अपघटन को 2 x 2 + 1 \u003d 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

उदाहरण 4।

स्क्वायर तीन decar x 2 + 1 3 x + 1 का निर्धारण।

फेसला

शुरू करने के लिए, फॉर्म x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 के वर्ग समीकरण को हल करना आवश्यक है और इसकी जड़ें ढूंढें।

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d 0 d \u003d 1 3 2 - 4 · 1 · 1 \u003d - 35 9 x 1 \u003d - 1 3 + d 2 · 1 \u003d 1 3 + 35 3 · I 2 \u003d - 1 + 35 · मैं 6 \u003d - 1 6 + 35 6 · ix 2 \u003d - 1 3 - डी 2 · 1 \u003d - 1 3 - 35 3 · I 2 \u003d - 1 - 35 · i 6 \u003d - 1 6 - 35 6 · i

जड़ों को प्राप्त करना, लिखना

x 2 + 1 3 x + 1 \u003d x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i \u003d x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

टिप्पणी

यदि भेदभाव का मूल्य नकारात्मक है, तो बहुपद दूसरे क्रम के बहुपद रहेगा। यह इस प्रकार है कि हम उन्हें रैखिक गुणक पर नहीं डालेंगे।

सेकंड की तुलना में डिग्री के बहुपदों के अपघटन के तरीके

अपघटन में, एक सार्वभौमिक विधि माना जाता है। अधिकांश मामले मंत्री के प्रमेय के परिणाम पर आधारित हैं। ऐसा करने के लिए, रूट एक्स 1 के मूल्य का चयन करना और बहुपद पर 1 डिवीजन (एक्स - एक्स 1) द्वारा विभाजित करके इसकी डिग्री कम करना आवश्यक है। परिणामी बहुपद को x 2 की जड़ को खोजने की ज़रूरत है, और खोज प्रक्रिया चक्रीय रूप से तब तक है जब तक कि हम एक पूर्ण अपघटन प्राप्त न करें।

यदि रूट नहीं मिलती है, तो गुणक के अपघटन के अन्य तरीकों को लागू किया जाता है: ग्रुपिंग, अतिरिक्त शर्तें। यह विषय उच्च डिग्री और पूरे गुणांक के साथ समीकरणों को हल करने का मानना \u200b\u200bहै।

कोष्ठक के लिए गुणक

नि: शुल्क सदस्य शून्य होने पर मामले पर विचार करें, फिर बहुपद का प्रकार पी एन (एक्स) \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + की तरह हो जाता है। । । + ए 1 एक्स।

यह देखा जा सकता है कि इस तरह के एक बहुपद की जड़ x 1 \u003d 0 होगी, फिर बहुपद अभिव्यक्ति पी एन (एक्स) \u003d ए एन एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। । । + ए 1 एक्स \u003d एक्स (ए एन एक्स एन - 1 + ए एन - 1 एक्स एन - 2 + ... + ए 1)

इस विधि को ब्रैकेट के लिए एक आम कारक वापस लेने के लिए माना जाता है।

उदाहरण 5।

गुणक पर एक तीसरी डिग्री 4 x 3 + 8 x 2 - x के बहुपद का अपघटन करें।

फेसला

हम देखते हैं कि x 1 \u003d 0 किसी दिए गए बहुपद की जड़ है, फिर पूरे अभिव्यक्ति के ब्रैकेट के लिए एक्स बनाना संभव है। हम पाते हैं:

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x (4 x 2 + 8 x - 1)

स्क्वायर तीन-कटा हुआ 4 x 2 + 8 x - 1 की जड़ों को खोजने के लिए जाओ। हम भेदभावपूर्ण और जड़ें पाते हैं:

डी \u003d 8 2 - 4 · 4 · (- 1) \u003d 80 x 1 \u003d - 8 + डी 2 · 4 \u003d - 1 + 5 2 x 2 \u003d - 8 - डी 2 · 4 \u003d - 1 - 5 2

तब यह इस प्रकार है

4 x 3 + 8 x 2 - x \u003d x 4 x 2 + 8 x - 1 \u003d 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 \u003d 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2।

शुरू करने के लिए, हम फॉर्म पी एन (एक्स) \u003d एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + के पूरे गुणांक वाले एक अपघटन विधि को ध्यान में रखेंगे। । । + ए 1 एक्स + ए 0, जहां गुणांक वरिष्ठ डिग्री 1 में से एक है।

जब बहुपद की पूरी जड़ें होती हैं, तो उन्हें नि: शुल्क सदस्य दिव्य माना जाता है।

उदाहरण 6।

अभिव्यक्ति एफ (एक्स) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 का निर्धारण।

फेसला

इस बात पर विचार करें कि क्या पूरी जड़ें हैं। संख्या के डिवाइडर को लिखना आवश्यक है - 18। हम उस ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18 प्राप्त करते हैं। यह इस प्रकार है कि इस बहुपद की पूरी जड़ें हैं। आप बर्नर योजना की जांच कर सकते हैं। यह बहुत सुविधाजनक है और आपको बहुपद की वादी दरों को जल्दी से प्राप्त करने की अनुमति देता है:

यह निम्नानुसार है कि x \u003d 2 और x \u003d - 3 स्रोत बहुपद की जड़ें हैं, जिन्हें फॉर्म के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है:

f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) \u003d \u003d \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

हम स्क्वायर तीन-चयनित रूप x 2 + 2 x + 3 के अपघटन की ओर मुड़ते हैं।

चूंकि भेदभावपूर्ण हम नकारात्मक हो जाते हैं, इसका मतलब है कि कोई वैध जड़ें नहीं हैं।

उत्तर: एफ (एक्स) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

टिप्पणी

गनर योजना के बजाय बहुपद के लिए बहुपद के मूल और विभाजन के चयन का उपयोग करने की अनुमति है। हम एक बहुपद के अपघटन के विचार को चालू करते हैं जिसमें फॉर्म पी एन (एक्स) \u003d एक्स एन + ए एन - 1 एक्स एन - 1 + के पूरे गुणांक होते हैं। । । + ए 1 एक्स + ए 0, जिसमें से सबसे बड़ा है।

यह मामला फ्रैक्शनल तर्कसंगत अंशों के लिए होता है।

उदाहरण 7।

कारकों का विस्तार करें F (x) \u003d 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15।

फेसला

वेरिएबल वाई \u003d 2 एक्स को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, आपको एक उच्च डिग्री के साथ 1 के बराबर गुणांक के साथ बहुपद में जाना चाहिए। 4 पर अभिव्यक्ति के गुणा के साथ शुरू करना आवश्यक है। हमें वह मिलता है

4 एफ (x) \u003d 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · 2 · x + 60 \u003d \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 \u003d g (y)

जब फॉर्म जी (वाई) \u003d वाई 3 + 1 9 वाई 2 + 82 वाई + 60 के परिणामी कार्य में पूरी जड़ें हैं, तो नि: शुल्क सदस्य divisors के बीच उनकी खोज। रिकॉर्ड फॉर्म ले जाएगा:

± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 10, ± 12, ± 15, ± 20, ± 30, ± 60

शून्य के परिणामस्वरूप प्राप्त करने के लिए हमें इन डॉट में फ़ंक्शन जी (वाई) की गणना करने दें। हमें वह मिलता है

जी (1) \u003d 1 3 + 1 9 · 1 2 + 82 · 1 + 60 \u003d 162 जी (- 1) \u003d (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 \u003d - 4 जी (2) \u003d 2 3 + 1 9 · 2 2 + 82 · 2 + 60 \u003d 308 जी (- 2) \u003d (- 2) 3 + 1 9 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 \u003d - 36 जी (3) \u003d 3 3 + 1 9 · 3 2 + 82 · 3 + 60 \u003d 504 जी (3) \u003d (- 3) 3 + 1 9 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 \u003d - 42 ग्राम (4) \u003d 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 \u003d 756 जी (- 4) \u003d (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 \u003d - 28 जी (5) \u003d 5 3 + 1 9 · 5 2 + 82 · 5 + 60 \u003d 1070 ग्राम (- 5) \u003d (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60।

हम प्राप्त कि y \u003d - 5 फार्म के समीकरण की जड़ है y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, इसका मतलब है कि एक्स \u003d y 2 \u003d - 5 2 मूल कार्य की जड़ है।

उदाहरण 8।

कॉलम 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 से x + 5 2 को विभाजित करना आवश्यक है।

फेसला

हम लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) \u003d \u003d 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

विभाजकों के सत्यापन में बहुत समय लगेगा, इसलिए परिणामी वर्ग तीन-घने फॉर्म x 2 + 7 x + 3 के कारकों पर अपघटन लेने के लिए यह अधिक लाभदायक है। शून्य के बराबर और भेदभावपूर्ण।

x 2 + 7 x + 3 \u003d 0 d \u003d 7 2 - 4 · 1 · 3 \u003d 37 x 1 \u003d - 7 + 37 2 x 2 \u003d - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 \u003d x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

इसलिए यह इस प्रकार है

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 \u003d 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 \u003d 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

बहुपदों के अपघटन के लिए कृत्रिम तकनीक

तर्कसंगत जड़ें सभी बहुपदों में निहित नहीं हैं। ऐसा करने के लिए, गुणक खोजने के लिए विशेष तरीकों का उपयोग करें। लेकिन सभी बहुपदों को एक काम के रूप में विघटित या उपस्थित नहीं किया जा सकता है।

समूह की विधि

ऐसे मामले हैं जब एक आम कारक खोजने और इसे कोष्ठक के लिए डालने के लिए बहुपद के घटकों को समूहित करना संभव है।

उदाहरण 9।

बहुपक्षीय x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 गुणक पर निर्धारण।

फेसला

चूंकि गुणांक पूर्णांक होते हैं, फिर जड़ें संभवतः पूर्णांक भी हो सकती हैं। इन बिंदुओं पर बहुपद के मूल्य की गणना करने के लिए जांच करने के लिए, मूल्य 1, 1, 2 और 2 लें। हमें वह मिलता है

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 \u003d - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 · (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 · (- 1) - 2 \u003d 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 \u003d 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 · (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 · (- 2) - 2 \u003d - 6 ≠ 0

यहां से यह देखा जा सकता है कि कोई जड़ें नहीं हैं, अपघटन और समाधान के किसी अन्य तरीके का उपयोग करना आवश्यक है।

एक समूह को पूरा करना आवश्यक है:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 \u003d \u003d (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 एक्स) + x 2 - 2 \u003d \u003d x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 \u003d \u003d (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

मूल बहुपद समूह को समूहित करने के बाद, इसे दो वर्ग तीन-भेजने के उत्पाद के रूप में जमा करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हमें कारकों को विघटित करने की आवश्यकता है। हमें वह मिलता है

x 2 - 2 \u003d 0 x 2 \u003d 2 x 1 \u003d 2 x 2 \u003d - 2 ⇒ x 2 - 2 \u003d x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 \u003d 0 d \u003d 4 2 - 4 · 1 · 1 \u003d 12 x 1 \u003d - 4 - डी 2 · 1 \u003d - 2 - 3 x 2 \u003d - 4 - d 2 · 1 \u003d - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 \u003d x + 2 - 3 x + 2 + 3।

4 x 4 + x 3 - x 2 - x 8 - 2 \u003d x 2 - 2 x 2 + x 4 + 1 \u003d \u003d x - x 2 + 2 + x 2 - x 3 + 2 + 3

टिप्पणी

समूह की सादगी का मतलब यह नहीं है कि एक स्लाइन चुनना आसान है। हल करने का एक निश्चित तरीका मौजूद नहीं है, इसलिए विशेष प्रमेय और नियमों का उपयोग करना आवश्यक है।

उदाहरण 10।

बहुपद x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 के गुणक का निर्धारण।

फेसला

निर्दिष्ट बहुपद की पूरी जड़ें नहीं हैं। घटकों का समूह बनाना चाहिए। हमें वह मिलता है

एक्स 4 + 3 x 3 - एक्स 2 - 4 x + 2 \u003d (एक्स 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 एक्स 2) + (- 2 एक्स 2 - 2 एक्स) - एक्स 2 - 2 एक्स + 2 \u003d एक्स 2 (एक्स 2 + x) + 2 x (एक्स 2 + x) - 2 (एक्स 2 + x) - (एक्स 2 + 2 x - 2) \u003d \u003d (एक्स 2 + x) (एक्स 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) \u003d (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

गुणाओं पर अपघटन के बाद, हम इसे प्राप्त करते हैं

एक्स 4 + 3 x 3 - एक्स 2 - 4 x + 2 \u003d एक्स 2 + x - 1 एक्स 2 + 2 x - 2 \u003d x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 एक्स + 1 2 - 5 2

बहुविकल्पीय गुणाओं के सूत्रों का उपयोग करके बहुपद के बहुपद को विघटित करने के लिए

उपस्थिति अक्सर यह स्पष्ट नहीं करती है कि अपघटन का लाभ उठाने के लिए यह कैसे आवश्यक है। परिवर्तन के बाद, आप एक रेखा का निर्माण कर सकते हैं जिसमें पास्कल के त्रिभुज से मिलकर, अन्यथा उन्हें न्यूटन के बिनम कहा जाता है।

उदाहरण 11।

4 x 4 + x 3 + 6 x 4 + 2 x - 2 कारककरण का बहुपद विस्तार करें।

फेसला

फॉर्म में अभिव्यक्ति रूपांतरण करना आवश्यक है

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ब्रैकेट में राशि के गुणांक का अनुक्रम अभिव्यक्ति एक्स + 1 4 इंगित करता है।

तो, हमारे पास x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 \u003d x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 है।

वर्गों में अंतर लागू करने के बाद, हमें मिलता है

एक्स 4 + 4 x 3 + 6 एक्स 2 4 एक्स - 2 \u003d एक्स 4 + 4 x 3 + 6 एक्स 2 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

दूसरे ब्रैकेट में मौजूद अभिव्यक्ति पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि वहां कोई घोड़ नहीं हैं, इसलिए स्क्वायर के अंतर के लिए सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हमें दृश्य की अभिव्यक्ति मिलती है

एक्स 4 + 4 x 3 + 6 एक्स 2 4 एक्स - 2 \u003d एक्स 4 + 4 x 3 + 6 एक्स 2 4 x + 1 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 4 - 3 \u003d x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 \u003d x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

उदाहरण 12।

गुणक x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 का निर्धारण।

फेसला

हम अभिव्यक्ति के परिवर्तन से निपटेंगे। हमें वह मिलता है

एक्स 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 \u003d x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 \u003d (x + 2) 3 - 2

क्यूब्स के अंतर के कम गुणा के लिए सूत्र लागू करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 3 + 6 एक्स 2 + 12 x + 6 \u003d \u003d (x + 2) 3 - 2 \u003d x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 \u003d x + 2 - 2 3 एक्स 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

गुणक को विघटित करते समय एक चर को बदलने की विधि

परिवर्तनीय को प्रतिस्थापित करते समय, बहुपदों को बहुपदों की डिग्री और अपघटन में कमी।

उदाहरण 13।

फॉर्म x 6 + 5 x 3 + 6 के बहुपद गुणक का निर्धारण।

फेसला

हालत से, यह देखा जा सकता है कि y \u003d x 3 को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हम पाते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6

प्राप्त वर्ग समीकरण की जड़ें y \u003d - 2 और y \u003d - 3 के बराबर हैं

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3

क्यूब्स की मात्रा के संक्षिप्त गुणा के लिए सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हम फॉर्म की अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं:

x 6 + 5 x 3 + 6 \u003d y \u003d x 3 \u003d y 2 + 5 y + 6 \u003d y + 2 y + 3 \u003d x 3 + 2 x 3 + 3 \u003d x + 2 3 एक्स 2 - 2 3 एक्स 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

यही है, उन्हें वांछित अपघटन मिला।

ऊपर बताए गए मामलों अलग अलग तरीकों से गुणकों में विचार और बहुआयामी पद के अपघटन में मदद मिलेगी।

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इस पाठ में, हम आपके साथ रैखिक गुणक पर वर्ग रखना सीखेंगे। ऐसा करने के लिए, आपको वियतका और विपरीत के प्रमेय को याद रखना होगा। यह कौशल हमें रैखिक गुणक पर स्क्वायर ट्रॉथ्स को जल्दी और आसानी से रखने में मदद करेगा, और अभिव्यक्तियों से युक्त अंशों में कमी को सरल बना देगा।

तो चलो स्क्वायर समीकरण पर लौटें, जहां।

हमारे बाईं ओर क्या है स्क्वायर ट्रिपल कहा जाता है।

फेयर प्रमेय: यदि - स्क्वायर ट्रिपल की जड़ें, तो पहचान सत्य है

वरिष्ठ गुणांक कहां है, समीकरण की जड़ें।

इसलिए, हमारे पास एक वर्ग समीकरण है - एक वर्ग ट्रिपल, जहां वर्ग समीकरण की जड़ों को स्क्वायर ट्रिपल की जड़ें भी कहा जाता है। इसलिए, अगर हमारे पास स्क्वायर ट्रॉथ्स जड़ें हैं, तो यह ट्रिपल रैखिक गुणक को गिरा देता है।

साक्ष्य:

इस तथ्य का सबूत वियतनाम प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है, जो पिछले पाठों में माना जाता है।

आइए याद रखें कि वियतनामी क्या कहता है:

यदि - स्क्वायर ट्रिपल की जड़ें, जो कि।

इस प्रमेय से, निम्नलिखित कथन का तात्पर्य है।

हम देखते हैं कि, वियतनाम प्रमेय द्वारा, यानी, उपरोक्त सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करना, हमें निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलती है

q.E.D.

याद रखें कि हमने प्रमेय साबित कर दिया है कि यदि स्क्वायर ट्रिपल की जड़ें, तो अपघटन निष्पक्ष है।

अब हम एक वर्ग समीकरण जो करने के लिए हम Vieta प्रमेय का उपयोग जड़ों उठाया का एक उदाहरण याद करते हैं। इस तथ्य से, हम सिद्ध प्रमेय के कारण निम्नलिखित समानता प्राप्त कर सकते हैं:

अब ब्रैकेट के सरल प्रकटीकरण के साथ इस तथ्य की शुद्धता की जांच करें:

हम देखते हैं कि हमने गुणक के लिए सत्य दिया, और किसी भी ट्रिपल, अगर इसकी जड़ है, तो सूत्र द्वारा रैखिक कारकों पर इस प्रमेय पर विघटित किया जा सकता है

हालांकि, किसी भी समीकरण के लिए, जांचें, इस तरह की असंतोष संभव है:

उदाहरण के लिए, समीकरण। शुरू करने के लिए, भेदभावपूर्ण संकेत की जांच करें

और हमें याद है कि सीखने वाले प्रमेय डी को 0 से अधिक होना चाहिए, इसलिए, इस मामले में, प्रमेय के अनुसार गुणक का विस्तार असंभव है।

इसलिए, हम एक नया प्रमेय तैयार करते हैं: यदि स्क्वायर ट्रिपल में जड़ें नहीं होती हैं, तो रैखिक गुणक पर विघटन करना असंभव है।

इसलिए, हमने वियतका के प्रमेय को देखा, रैखिक गुणक के लिए एक वर्ग ट्रिपल को विघटित करने की संभावना, और अब कई कार्यों का फैसला करें।

कार्य संख्या 1।

इस समूह में, हम सेट के विपरीत कार्य को हल करेंगे। हमारे पास एक समीकरण था, और हमने अपनी जड़ें पाई, मल्टीप्लियर के लिए बिछाया। यहां हम इसके विपरीत कार्य करेंगे। मान लीजिए हमारे पास एक वर्ग समीकरण की जड़ें हैं

व्यस्त कार्य है: एक वर्ग समीकरण को रूट करने के लिए बनाओ।

इस समस्या को हल करने के लिए, 2 विधियां हैं।

क्योंकि - समीकरण की जड़ें, फिर - यह एक वर्ग समीकरण है, जिनकी जड़ें निर्दिष्ट संख्याएं हैं। अब कोष्ठक प्रकट करें और जांचें:

यह पहला तरीका था जिसने हमने एक दिए गए रूट के साथ एक वर्ग समीकरण बनाया था, जिसमें कोई अन्य जड़ें नहीं होती हैं, क्योंकि किसी भी वर्ग समीकरण में दो से अधिक जड़ें नहीं होती हैं।

इस विधि में वियतका के रिवर्स प्रमेय का उपयोग शामिल है।

यदि समीकरण की जड़ें, तो वे इस शर्त को पूरा करते हैं।

दिए गए वर्ग समीकरण के लिए , यानी इस मामले में, और।

इस प्रकार, हमने एक वर्ग समीकरण बनाया जिसमें एक जड़ है।

कार्य संख्या 2।

अंश को कम करना आवश्यक है।

हम अंश में ट्रिपल और हर में ट्रिपल है, और इसे फ़ोल्डर के रूप में इलाज किया जा सकता है, और नहीं मल्टीप्लायरों के लिए बाहर रखी। यदि संख्याकार, और संप्रदाय गुणक को गिरता है, तो उनमें से समान गुणक हो सकते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

सबसे पहले, गुणक पर संख्या को विघटित करना आवश्यक है।

प्रारंभ में, यह जांचना आवश्यक है कि गुणक के लिए इस समीकरण को विघटित करना संभव है, हम एक भेदभाव पाएंगे। चूंकि, यह संकेत इस उदाहरण में काम पर निर्भर करता है (0 से कम होना चाहिए), इस उदाहरण में, यानी निर्दिष्ट समीकरण में रूट है।

हल करने के लिए, वियतनाम प्रमेय का उपयोग करें:

इस मामले में, चूंकि हम जड़ों से निपट रहे हैं, इसलिए यह सिर्फ जड़ों का चयन करना मुश्किल होगा। लेकिन हम देखते हैं कि गुणांक संतुलित हैं, यानी, अगर हम मानते हैं, और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्न प्रणाली प्राप्त की जाती है :, I.e. 5-5 \u003d 0। इस प्रकार, हमने इस वर्ग समीकरण की जड़ों में से एक को उठाया।

हम पहले से ही समीकरणों की प्रणाली के लिए ज्ञात सबस्टेशन की दूसरी रूट विधि की तलाश करेंगे, उदाहरण के लिए, यानी। ।

इस प्रकार, हमने वर्ग समीकरण की जड़ दोनों को पाया और कारकों पर इसे विघटित करने के लिए अपने मूल्यों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

मूल कार्य को याद करें, हमें अंश को कम करने की आवश्यकता है।

आइए एक संख्यात्मक के बजाय प्रतिस्थापन, कार्य को हल करने का प्रयास करें।

यह नहीं भूलना जरूरी नहीं है कि एक ही समय में denominator 0 के बराबर नहीं हो सकता, यानी।,।

यदि इन शर्तों को किया जाता है, तो हमने प्रारंभिक अंश को प्रजातियों में घटा दिया।

कार्य संख्या 3 (पैरामीटर के साथ कार्य)

वर्ग समीकरण की जड़ों की मात्रा के पैरामीटर के किस मूल्यों के तहत

यदि इस समीकरण की जड़ें मौजूद हैं, तो प्रश्न: जब।

स्क्वायर तीन कमी को फॉर्म एक्स ^ 2 + बीएक्स + सी के बहुपद कहा जाता है, जहां एक्स चर, ए, बी और सी - कुछ संख्या है, और शून्य नहीं है।
असल में, पहली चीज जिसे हमें मल्टीप्लियर - प्रमेय पर बीमार-चित्रित तीन हिस्सेदारी को विघटित करने की आवश्यकता है। यह निम्नानुसार दिखता है: "यदि x1 और x2 वर्ग तीन decar कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c की जड़ें हैं, तो कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c \u003d a (x-x1) (x-x2)"। बेशक, इस प्रमेय का भी प्रमाण है, लेकिन इसके लिए कुछ सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता होती है (जब गुणक के बहुपद कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी में ब्रैकेट पर जमा किया जाता है, और हम कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c \u003d a ( एक्स ^ 2 + (ख / एक) एक्स + सी / ए) प्रमेय x1 + x2 \u003d के अनुसार -। (ख / एक), x 1 * x2 \u003d सी / ए, फलस्वरूप बी / एक \u003d - (x1 + x2) , सी / ए \u003d x 1 * x2। तो, एक्स ^ 2 + (ख / एक) x + ग / एक \u003d x ^ 2 (x1 + x2) x + x1x2 \u003d x ^ 2-x1x-X2X + x1x2 \u003d एक्स तो, कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c \u003d एक (एक्स-एक्स 1) (एक्स-X2) कभी कभी शिक्षकों बनाने (x - x 1) -x2 (x - x 1) \u003d (एक्स - - x 1) (x2 एक्स)।। सबूत सिखाने, लेकिन अगर यह मांग में नहीं है, मैं सिर्फ याद अंतिम सूत्र सलाह।

2 कदम

उदाहरण 3x 3x ^ 2-24x + 21 के रूप में लें। पहली चीज जो हमें करने की ज़रूरत है वह तीन-टुकड़े को शून्य से बराबर है: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0। परिणामी वर्ग समीकरण की जड़ें क्रमशः तीन-टुकड़े की जड़ें होंगी।

3 कदम

मैं समीकरण 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 0 को हल करता हूं। ए \u003d 3, बी \u003d -24, सी \u003d 21। तो, हम तय करते हैं। स्क्वायर समीकरणों को हल करने के तरीके को कैसे पता नहीं है, एक ही समीकरण के उदाहरण पर उन्हें हल करने के 2 तरीकों के साथ मेरे निर्देश देखें। यह जड़ों x1 \u003d 7, x2 \u003d 1 निकला।

4 कदम

अब जब हमारे पास तीन-शॉट्स की जड़ें हैं, तो आप उन्हें सूत्र में सुरक्षित रूप से प्रतिस्थापित कर सकते हैं \u003d) कुल्हाड़ी ^ 2 + बीएक्स + सी \u003d ए (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2)
हमें मिलता है: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 3 (x-7) (x-1)
आप एक सदस्य ए से छुटकारा पा सकते हैं, इसे ब्रैकेट में बनाते हैं: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d (x-7) (x * 3-1 * 3)
नतीजतन, हमें मिलता है: 3x ^ 2-24x + 21 \u003d (x-7) (3x-3)। नोट: परिणामी गुणक ((x-7), (3x-3) में से प्रत्येक पहली डिग्री के बहुपद हैं। तो सभी अपघटन \u003d) यदि आप प्राप्त प्रतिक्रिया पर संदेह करते हैं, तो आप इसे हमेशा देख सकते हैं, ब्रैकेट चलाना।

5 कदम

समाधान जांचें। 3x ^ 2-24x + 21 \u003d 3 (x-7) (x-3)
(x-7) (3x-3) \u003d 3x ^ 2-3x-21x + 21 \u003d 3x ^ 2-24x + 21। अब हम जानते हैं कि हमारा समाधान क्या सच है! मुझे आशा है कि मेरा निर्देश किसी की मदद करेगा \u003d) स्कूल में शुभकामनाएँ!

• हमारे मामले में, समीकरण डी\u003e 0 में और हमें 2 जड़ें मिलीं। अगर वहाँ थे<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• यदि वर्ग थ्रेशेट में जड़ें नहीं होती हैं, तो इसे गुणक पर विघटित नहीं किया जा सकता है जो पहली डिग्री के बहुपद हैं।