संभावनाओं के जोड़ और गुणन की संभाव्यता प्रमेय। संभाव्यताएँ जोड़ने के सूत्र. संभाव्यता गुणन प्रमेय

संभाव्यता जोड़ और गुणन प्रमेय।
आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ

शीर्षक डरावना लगता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल है। इस पाठ में हम घटना संभावनाओं के जोड़ और गुणन के प्रमेयों से परिचित होंगे, और साथ ही विशिष्ट समस्याओं का विश्लेषण भी करेंगे। संभाव्यता के शास्त्रीय निर्धारण पर समस्यानिश्चित रूप से मिलेंगे या, अधिक संभावना है, पहले ही आपके रास्ते पर मिल चुके होंगे। इस लेख की सामग्रियों का प्रभावी ढंग से अध्ययन करने के लिए, आपको बुनियादी शब्दों को जानना और समझना होगा सिद्धांत संभावनाऔर सरल अंकगणितीय परिचालन करने में सक्षम हो। जैसा कि आप देख सकते हैं, बहुत कम की आवश्यकता है, और इसलिए संपत्ति में मोटी रकम की लगभग गारंटी है। लेकिन दूसरी ओर, मैं फिर से व्यावहारिक उदाहरणों के प्रति सतही रवैये के खिलाफ चेतावनी देता हूं - इसमें बहुत सारी सूक्ष्मताएं भी हैं। आपको कामयाबी मिले:

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय: दो में से एक के घटित होने की संभावना असंगतघटनाएँ या (कोई बात नहीं क्या), इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

एक समान तथ्य बड़ी संख्या में असंगत घटनाओं के लिए सत्य है, उदाहरण के लिए, तीन असंगत घटनाओं के लिए और:

प्रमेय एक सपना है =) हालाँकि, ऐसा सपना प्रमाण के अधीन है, जिसे पाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, वी.ई. द्वारा पाठ्यपुस्तक में। Gmurman.

आइए नई, अब तक अज्ञात अवधारणाओं से परिचित हों:

आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ

आइए स्वतंत्र घटनाओं से शुरुआत करें। घटनाएँ हैं स्वतंत्र , यदि घटना की संभावना उनमें से कोई निर्भर नहीं करताविचाराधीन सेट की अन्य घटनाओं की उपस्थिति/गैर-उपस्थिति पर (सभी संभावित संयोजनों में)। ...लेकिन सामान्य वाक्यांशों को आज़माने की जहमत क्यों उठाई जाए:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय: स्वतंत्र घटनाओं के संयुक्त घटित होने की संभावना और इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

आइए पहले पाठ के सबसे सरल उदाहरण पर लौटते हैं, जिसमें दो सिक्के उछाले जाते हैं और निम्नलिखित घटनाएँ होती हैं:

- पहले सिक्के पर चित दिखाई देंगे;
- दूसरे सिक्के पर चित दिखाई देंगे।

आइए घटना की प्रायिकता ज्ञात करें (पहले सिक्के पर चित दिखाई देगा औरदूसरे सिक्के पर एक चील दिखाई देगी - याद रखें कि कैसे पढ़ना है घटनाओं का उत्पाद!) . एक सिक्के पर चित आने की संभावना किसी भी तरह से दूसरे सिक्के को उछालने के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं।

वैसे ही:
- संभावना है कि पहला सिक्का शीर्ष पर आएगा औरदूसरी पूँछ पर;
- संभावना है कि पहले सिक्के पर हेड दिखाई देगा औरदूसरी पूँछ पर;
- संभावना है कि पहला सिक्का हेड दिखाएगा औरदूसरे ईगल पर.

ध्यान दें कि घटनाएँ बनती हैं पूरा समूहऔर उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है: .

गुणन प्रमेय स्पष्ट रूप से बड़ी संख्या में स्वतंत्र घटनाओं तक विस्तारित है, उदाहरण के लिए, यदि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, तो उनकी संयुक्त घटना की संभावना बराबर है:। आइए विशिष्ट उदाहरणों के साथ अभ्यास करें:

समस्या 3

तीनों बक्सों में से प्रत्येक में 10 भाग हैं। पहले बॉक्स में 8 मानक भाग हैं, दूसरे में - 7, तीसरे में - 9. प्रत्येक बॉक्स से एक भाग यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी भाग मानक होंगे।

समाधान: किसी बॉक्स से मानक या गैर-मानक भाग निकालने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि अन्य बॉक्स से कौन से हिस्से लिए गए हैं, इसलिए समस्या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है। निम्नलिखित स्वतंत्र घटनाओं पर विचार करें:

- पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाता है;
- दूसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया गया;
- तीसरे बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाता है।

शास्त्रीय परिभाषा के अनुसार:
संगत संभावनाएँ हैं।

हमारे लिए रुचि की घटना (पहले बॉक्स से एक मानक भाग हटा दिया जाएगा औरदूसरी कक्षा से औरतीसरी कक्षा से)उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

- संभावना है कि तीन बक्सों से एक मानक भाग हटा दिया जाएगा।

उत्तर: 0,504

बक्सों के साथ स्फूर्तिदायक अभ्यासों के बाद, कोई कम दिलचस्प कलश हमारा इंतजार नहीं कर रहे हैं:

समस्या 4

तीन कलशों में 6 सफेद और 4 काली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: a) सभी तीन गेंदें सफेद होंगी; ख) तीनों गेंदें एक ही रंग की होंगी।

प्राप्त जानकारी के आधार पर, अनुमान लगाएं कि "होना" बिंदु से कैसे निपटना है ;-) समाधान का एक अनुमानित उदाहरण सभी घटनाओं के विस्तृत विवरण के साथ अकादमिक शैली में डिज़ाइन किया गया है।

आश्रित घटनाएँ. इवेंट कहा जाता है आश्रित , यदि इसकी संभावना है निर्भर करता हैएक या अधिक घटनाओं से जो पहले ही घटित हो चुकी हैं। आपको उदाहरणों के लिए दूर जाने की ज़रूरत नहीं है - बस निकटतम स्टोर पर जाएँ:

– कल 19.00 बजे ताज़ी ब्रेड बिक्री पर होगी।

इस घटना की संभावना कई अन्य घटनाओं पर निर्भर करती है: क्या कल ताजी रोटी वितरित की जाएगी, क्या यह शाम 7 बजे से पहले बिक जाएगी या नहीं, आदि। विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर, यह घटना विश्वसनीय या असंभव हो सकती है। तो घटना है आश्रित.

रोटी... और, जैसा कि रोमनों की मांग थी, सर्कस:

- परीक्षा में छात्र को एक साधारण टिकट मिलेगा।

यदि आप सबसे पहले नहीं हैं, तो घटना निर्भर होगी, क्योंकि इसकी संभावना इस बात पर निर्भर करेगी कि सहपाठियों ने पहले ही कौन से टिकट निकाले हैं।

घटनाओं की निर्भरता/स्वतंत्रता का निर्धारण कैसे करें?

कभी-कभी इसे सीधे समस्या कथन में कहा जाता है, लेकिन अक्सर आपको एक स्वतंत्र विश्लेषण करना पड़ता है। यहां कोई स्पष्ट दिशानिर्देश नहीं है, और घटनाओं की निर्भरता या स्वतंत्रता का तथ्य प्राकृतिक तार्किक तर्क से आता है।

हर चीज़ को एक ढेर में न समेटने के लिए, आश्रित घटनाओं के लिए कार्यमैं निम्नलिखित पाठ पर प्रकाश डालूँगा, लेकिन अभी हम व्यवहार में प्रमेयों के सबसे सामान्य सेट पर विचार करेंगे:

असंगत संभावनाओं के लिए जोड़ प्रमेयों पर समस्याएँ
और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करना

मेरे व्यक्तिपरक मूल्यांकन के अनुसार, यह अग्रानुक्रम, विचाराधीन विषय पर लगभग 80% कार्यों में काम करता है। हिट का हिट और संभाव्यता सिद्धांत का एक वास्तविक क्लासिक:

समस्या 5

दो निशानेबाजों ने लक्ष्य पर एक-एक गोली चलाई। पहले निशानेबाज के लिए हिट की संभावना 0.8 है, दूसरे के लिए - 0.6। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

क) केवल एक निशानेबाज ही लक्ष्य पर वार करेगा;
बी) कम से कम एक निशानेबाज निशाने पर लगेगा।

समाधान: एक निशानेबाज की हिट/मिस दर स्पष्ट रूप से दूसरे निशानेबाज के प्रदर्शन से स्वतंत्र है।

आइए घटनाओं पर विचार करें:
– पहला निशानेबाज़ लक्ष्य पर वार करेगा;
- दूसरा शूटर निशाने पर लगेगा।

शर्त के अनुसार: .

आइए विपरीत घटनाओं की संभावनाएं खोजें - कि संबंधित तीर चूक जाएंगे:

क) घटना पर विचार करें: - केवल एक निशानेबाज ही लक्ष्य पर वार करेगा। इस घटना में दो असंगत परिणाम शामिल हैं:

पहला शूटर मारेगा औरदूसरा चूक जाएगा
या
पहला चूक जाएगा औरदूसरा वाला टकराएगा.

जीभ पर घटना बीजगणितइस तथ्य को निम्नलिखित सूत्र द्वारा लिखा जाएगा:

सबसे पहले, हम असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय का उपयोग करते हैं, फिर स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय का उपयोग करते हैं:

- संभावना है कि केवल एक ही हिट होगी।

ख) घटना पर विचार करें: - निशानेबाजों में से कम से कम एक ने लक्ष्य को मारा।

सबसे पहले, आइए सोचें - "कम से कम एक" शर्त का क्या मतलब है? इस मामले में, इसका मतलब यह है कि या तो पहला शूटर हिट करेगा (दूसरा चूक जाएगा) यादूसरा (पहला चूक जाएगा) यादोनों निशानेबाज एक साथ - कुल 3 असंगत परिणाम।

विधि एक: पिछले बिंदु की तैयार संभावना को ध्यान में रखते हुए, घटना को निम्नलिखित असंगत घटनाओं के योग के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है:

कोई वहां पहुंचेगा (एक घटना जिसमें दो असंगत परिणाम शामिल हैं) या
यदि दोनों तीर लगते हैं, तो हम इस घटना को अक्षर से दर्शाते हैं।

इस प्रकार:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
- संभावना है कि पहला शूटर हिट करेगा औरदूसरा शूटर मारेगा.

असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग के प्रमेय के अनुसार:
- लक्ष्य पर कम से कम एक प्रहार की संभावना।

विधि दो: विपरीत घटना पर विचार करें:- दोनों निशानेबाज चूक जाएंगे।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

नतीजतन:

दूसरी विधि पर विशेष ध्यान दें - सामान्य तौर पर, यह अधिक तर्कसंगत है।

इसके अलावा, संयुक्त घटनाओं के योग के प्रमेय के आधार पर इसे हल करने का एक वैकल्पिक, तीसरा तरीका है, जिसका उल्लेख ऊपर नहीं किया गया था।

! यदि आप पहली बार सामग्री से परिचित हो रहे हैं, तो भ्रम से बचने के लिए, अगले पैराग्राफ को छोड़ देना बेहतर है।

विधि तीन : घटनाएँ संगत हैं, जिसका अर्थ है कि उनका योग घटना को व्यक्त करता है "कम से कम एक निशानेबाज लक्ष्य पर वार करेगा" (देखें)। घटनाओं का बीजगणित). द्वारा संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेयऔर स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन का प्रमेय:

आइए जाँच करें: घटनाएँ और (क्रमशः 0, 1 और 2 हिट)एक पूर्ण समूह बनाएं, इसलिए उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए:
, जिसे जाँचने की आवश्यकता थी।

उत्तर:

संभाव्यता सिद्धांत के गहन अध्ययन के साथ, आप सैन्यवादी सामग्री के साथ दर्जनों समस्याओं का सामना करेंगे, और, विशेष रूप से, इसके बाद आप किसी को भी गोली नहीं मारना चाहेंगे - समस्याएं लगभग एक उपहार हैं। टेम्प्लेट को भी सरल क्यों नहीं बनाया गया? आइए प्रविष्टि को छोटा करें:

समाधान: शर्त के अनुसार: , - संबंधित निशानेबाजों को मारने की संभावना। तब उनके चूकने की सम्भावनाएँ:

ए) असंगत की संभावनाओं के योग और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
- संभावना है कि केवल एक निशानेबाज ही लक्ष्य पर वार करेगा।

बी) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
- संभावना है कि दोनों निशानेबाज चूक जाएंगे।

तब:- संभावना है कि कम से कम एक निशानेबाज निशाने पर लगेगा।

उत्तर:

व्यवहार में, आप किसी भी डिज़ाइन विकल्प का उपयोग कर सकते हैं। बेशक, अक्सर वे छोटा रास्ता अपनाते हैं, लेकिन हमें पहली विधि को नहीं भूलना चाहिए - हालाँकि यह लंबी है, यह अधिक सार्थक है - यह अधिक स्पष्ट है, क्या, क्यों और क्योंजोड़ता और गुणा करता है. कुछ मामलों में, एक मिश्रित शैली उपयुक्त होती है, जब केवल कुछ घटनाओं को इंगित करने के लिए बड़े अक्षरों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

स्वतंत्र समाधान के लिए समान कार्य:

समस्या 6

आग का संकेत देने के लिए, दो स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले सेंसर स्थापित किए गए हैं। आग लगने की स्थिति में सेंसर के काम करने की संभावनाएँ पहले और दूसरे सेंसर के लिए क्रमशः 0.5 और 0.7 हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आग लगने पर:

ए) दोनों सेंसर विफल हो जाएंगे;
बी) दोनों सेंसर काम करेंगे।
ग) प्रयोग करना एक पूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय, प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि आग लगने पर केवल एक सेंसर काम करेगा। इस संभावना की सीधे गणना करके परिणाम की जाँच करें (जोड़ और गुणन प्रमेयों का उपयोग करके).

यहां, उपकरणों के संचालन की स्वतंत्रता को सीधे स्थिति में बताया गया है, जो, वैसे, एक महत्वपूर्ण स्पष्टीकरण है। नमूना समाधान अकादमिक शैली में डिज़ाइन किया गया है।

क्या होगा यदि समान समस्या में समान संभावनाएँ दी गई हों, उदाहरण के लिए, 0.9 और 0.9? आपको बिल्कुल वैसा ही निर्णय लेने की आवश्यकता है! (जो, वास्तव में, दो सिक्कों के उदाहरण में पहले ही प्रदर्शित किया जा चुका है)

समस्या 7

पहले निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। पहले और दूसरे निशानेबाज द्वारा एक-एक गोली चलाने के बाद लक्ष्य पर निशाना न लगने की संभावना 0.08 है। दूसरे निशानेबाज द्वारा एक गोली से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता क्या है?

और यह एक छोटी सी पहेली है, जिसे संक्षिप्त तरीके से डिज़ाइन किया गया है। स्थिति को अधिक संक्षेप में सुधारा जा सकता है, लेकिन मैं मूल को दोबारा नहीं बनाऊंगा - व्यवहार में, मुझे अधिक अलंकृत निर्माणों में उतरना होगा।

उससे मिलें - वह वही है जिसने आपके लिए बहुत सारे विवरणों की योजना बनाई है =):

समस्या 8

एक कर्मचारी तीन मशीनें चलाता है। संभावना है कि एक शिफ्ट के दौरान पहली मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी 0.3, दूसरी - 0.75, तीसरी - 0.4। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि शिफ्ट के दौरान:

क) सभी मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी;
बी) केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी;
ग) कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

समाधान: चूँकि शर्त किसी एक तकनीकी प्रक्रिया के बारे में कुछ नहीं कहती है, तो प्रत्येक मशीन के संचालन को अन्य मशीनों के संचालन से स्वतंत्र माना जाना चाहिए।

समस्या संख्या 5 के अनुरूप, यहां आप उन घटनाओं पर विचार कर सकते हैं कि संबंधित मशीनों को शिफ्ट के दौरान समायोजन की आवश्यकता होगी, संभावनाओं को लिखें, विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का पता लगाएं, आदि। लेकिन तीन वस्तुओं के साथ, मैं वास्तव में अब कार्य को इस तरह प्रारूपित नहीं करना चाहता - यह लंबा और थकाऊ हो जाएगा। इसलिए, यहां "तेज़" शैली का उपयोग करना अधिक लाभदायक है:

शर्त के अनुसार:- संभावना है कि शिफ्ट के दौरान संबंधित मशीनों को ट्यूनिंग की आवश्यकता होगी। तब संभावनाएँ हैं कि उन पर ध्यान देने की आवश्यकता नहीं होगी:

पाठकों में से एक को यहां एक बढ़िया टाइपो मिला, मैं इसे ठीक भी नहीं करूंगा =)

ए) स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:
- संभावना है कि शिफ्ट के दौरान सभी तीन मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी।

बी) घटना "शिफ्ट के दौरान, केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी" में तीन असंगत परिणाम शामिल हैं:

1) पहली मशीन आवश्यकता होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
2) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी
या:
3) पहली मशीन आवश्यकता नहीं होगीध्यान औरदूसरी मशीन आवश्यकता नहीं होगी औरतीसरी मशीन आवश्यकता होगी.

असंगत की संभावनाओं के योग और स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

- संभावना है कि एक शिफ्ट के दौरान केवल एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

मुझे लगता है कि अब तक आपको समझ जाना चाहिए कि अभिव्यक्ति कहां से आती है

ग) आइए इस संभावना की गणना करें कि मशीनों को समायोजन की आवश्यकता नहीं होगी, और फिर विपरीत घटना की संभावना:
- कि कम से कम एक मशीन को समायोजन की आवश्यकता होगी।

उत्तर:

बिंदु "वी" को योग के माध्यम से भी हल किया जा सकता है, जहां संभावना है कि एक शिफ्ट के दौरान केवल दो मशीनों को समायोजन की आवश्यकता होगी। बदले में, इस घटना में 3 असंगत परिणाम शामिल हैं, जिन्हें "बी" बिंदु के अनुरूप वर्णित किया गया है। समानता का उपयोग करके पूरी समस्या की जाँच करने के लिए स्वयं संभाव्यता खोजने का प्रयास करें।

समस्या 9

लक्ष्य पर तीन तोपों से गोलाबारी की गई। केवल पहली बंदूक से एक शॉट के साथ हिट की संभावना 0.7 है, दूसरे से - 0.6, तीसरे से - 0.8। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि: 1) कम से कम एक प्रक्षेप्य लक्ष्य से टकराएगा; 2) केवल दो गोले लक्ष्य पर वार करेंगे; 3) लक्ष्य पर कम से कम दो बार वार किया जाएगा.

समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

और फिर से संयोगों के बारे में: यदि, शर्त के अनुसार, प्रारंभिक संभावनाओं के दो या यहां तक ​​कि सभी मान मेल खाते हैं (उदाहरण के लिए, 0.7, 0.7 और 0.7), तो बिल्कुल उसी समाधान एल्गोरिदम का पालन किया जाना चाहिए।

लेख को समाप्त करने के लिए, आइए एक और सामान्य पहेली पर नजर डालें:

समस्या 10

निशानेबाज प्रत्येक शॉट के साथ समान संभावना के साथ लक्ष्य पर प्रहार करता है। यह प्रायिकता क्या है यदि तीन शॉट के साथ कम से कम एक हिट की प्रायिकता 0.973 है।

समाधान: आइए हम इसे निरूपित करें - प्रत्येक शॉट के साथ लक्ष्य को भेदने की संभावना।
और इसके माध्यम से - प्रत्येक शॉट के साथ चूक की संभावना।

और आइए घटनाओं को लिखें:
- 3 शॉट्स के साथ शूटर कम से कम एक बार लक्ष्य को हिट करेगा;
- शूटर 3 बार चूक जाएगा।

शर्त के अनुसार, विपरीत घटना की संभावना:

दूसरी ओर, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार:

इस प्रकार:

- प्रत्येक शॉट के चूकने की संभावना।

नतीजतन:
- प्रत्येक शॉट के साथ एक हिट की संभावना।

उत्तर: 0,7

सरल और सुरुचिपूर्ण.

विचाराधीन समस्या में, केवल एक हिट, केवल दो हिट की संभावना और लक्ष्य पर तीन हिट की संभावना के बारे में अतिरिक्त प्रश्न पूछे जा सकते हैं। समाधान योजना बिल्कुल पिछले दो उदाहरणों की तरह ही होगी:

हालाँकि, मूलभूत अंतर यह है कि यहाँ हैं बार-बार स्वतंत्र परीक्षण, जो क्रमिक रूप से, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से और परिणामों की समान संभावना के साथ निष्पादित होते हैं।

किसी घटना की अवधारणा और किसी घटना की संभावना। विश्वसनीय और असंभव घटनाएँ. संभाव्यता की शास्त्रीय परिभाषा. संभाव्यता जोड़ प्रमेय. संभाव्यता गुणन प्रमेय. संभावनाओं के योग का उपयोग करके संभाव्यता निर्धारित करने की सबसे सरल समस्याओं को हल करना।

विषय 3.1 के लिए दिशानिर्देश:

किसी घटना की अवधारणा और किसी घटना की संभावना। विश्वसनीय और असंभव घटनाएँ. संभावनाओं की क्लासिक परिभाषा:

अवलोकन या प्रयोग के क्रम में प्रत्येक घटना का अध्ययन शर्तों (परीक्षणों) के एक निश्चित सेट के कार्यान्वयन से जुड़ा हुआ है। परीक्षण के प्रत्येक परिणाम या परिणाम को कहा जाता है आयोजन।

यदि कोई घटना दी गई परिस्थितियों में घटित हो सकती है या नहीं घटित हो सकती है, तो उसे कहा जाता है यादृच्छिक।जब किसी घटना का घटित होना निश्चित होता है तो उसे बुलाया जाता है भरोसेमंद, और उस स्थिति में जब यह स्पष्ट रूप से नहीं हो सकता, - असंभव।

घटनाओं को कहा जाता है असंगत,यदि उनमें से केवल एक का ही हर बार प्रकट होना संभव हो। घटनाओं को कहा जाता है संयुक्त,यदि, दी गई शर्तों के तहत, इनमें से किसी एक घटना का घटित होना उसी परीक्षण के दौरान किसी अन्य घटना के घटित होने को बाहर नहीं करता है।

घटनाओं को कहा जाता है विलोम,यदि परीक्षण की शर्तों के तहत, वे इसके एकमात्र परिणाम होने के नाते, असंगत हैं।

किसी घटना की संभावना को किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की वस्तुनिष्ठ संभावना के माप के रूप में माना जाता है।

संभावनाघटनाओं को परिणामों की संख्या का अनुपात कहा जाता है एम, किसी दिए गए घटना के घटित होने के लिए अनुकूल, सभी परिणामों की संख्या n (असंगत, केवल संभव और समान रूप से संभव), यानी।

किसी भी घटना की संभावना शून्य से कम और एक से अधिक नहीं हो सकती, यानी। . एक असंभव घटना एक संभावना से मेल खाती है, और एक विश्वसनीय घटना एक संभावना से मेल खाती है

उदाहरण 1. 1000 टिकटों की लॉटरी में, 200 विजेता हैं। एक टिकट यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह टिकट विजेता है?

विभिन्न परिणामों की कुल संख्या है एन= 1000. जीतने के अनुकूल परिणामों की संख्या है एम= 200. सूत्र के अनुसार, हमें प्राप्त होता है।

उदाहरण 2. 5 सफेद और 3 काली गेंदों वाले कलश से एक गेंद निकाली जाती है। गेंद के काली होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

आइए हम काली गेंद के प्रकट होने वाली घटना को से निरूपित करें। मामलों की कुल संख्या. मामलों की संख्या एमघटना के घटित होने के लिए अनुकूल, 3 के बराबर है। सूत्र का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 3. 12 सफेद और 8 काली गेंदों वाले कलश से यादृच्छिक रूप से दो गेंदें निकाली जाती हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों गेंदें काली हैं?

आइए हम दो काली गेंदों के प्रकट होने की घटना को निरूपित करें। संभावित मामलों की कुल संख्या एन 20 तत्वों (12 + 8) के संयोजन की संख्या दो के बराबर:

मामलों की संख्या एम, घटना के अनुकूल है

सूत्र का उपयोग करके, हम दो काली गेंदों के प्रकट होने की प्रायिकता ज्ञात करते हैं:

संभाव्यता जोड़ प्रमेय. संभाव्यता जोड़ प्रमेय का उपयोग करके संभाव्यता निर्धारित करने की सबसे सरल समस्याओं को हल करना:

असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय।कई जोड़ीवार असंगत घटनाओं में से किसी एक के घटित होने की संभावना, चाहे कोई भी हो, इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय।दो संयुक्त घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना इन घटनाओं की संयुक्त घटित होने की संभावना के बिना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है:

उदाहरण 4. एक बॉक्स में 20 हिस्से यादृच्छिक क्रम में व्यवस्थित हैं, जिनमें से पांच मानक हैं। एक कार्यकर्ता यादृच्छिक रूप से तीन भाग लेता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लिए गए भागों में से कम से कम एक मानक होगा।

जाहिर है, यदि तीन असंगत घटनाओं में से कोई भी घटित होता है तो लिया गया कम से कम एक भाग मानक होगा: बी- एक भाग मानक है, दो गैर-मानक हैं; सी- दो मानक भाग, एक गैर-मानक और डी- तीन भाग मानक हैं.

तो घटना एइन तीन घटनाओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है: ए = बी + सी + डी.योग प्रमेय के अनुसार हमारे पास है पी(ए) = पी(बी) + पी(सी) + पी(डी).इनमें से प्रत्येक घटना की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

पाए गए मानों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 5. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या या तो 3 या 5 या दोनों का गुणज होगी।

होने देना ए- एक घटना जिसमें यह तथ्य शामिल है कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई संख्या 3 का गुणज है, और बी- क्या यह 5 का गुणज है। आइए जानें चूँकि एऔर बीसंयुक्त घटनाएँ, तो हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

कुल 90 दो अंकों वाली संख्याएँ हैं: 10, 11, 98, 99। इनमें से 30 3 के गुणज हैं (घटना के घटित होने के अनुकूल) ए); 18 - 5 के गुणज (किसी घटना के घटित होने का पक्ष लेते हैं बी) और 6 - एक ही समय में 3 और 5 के गुणज (घटना के घटित होने का पक्ष लेते हैं अब). इस प्रकार, अर्थात्

संभाव्यता गुणन प्रमेय:

स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के संयुक्त घटित होने की प्रायिकता इन घटनाओं की प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है:

कुल मिलाकर स्वतंत्र कई घटनाओं के घटित होने की संभावना की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

आश्रित घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय।दो आश्रित घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना उनमें से एक के उत्पाद और दूसरे की सशर्त संभावना के बराबर है:

उदाहरण 6. एक कलश में 4 सफेद और 8 काली गेंदें हैं, दूसरे में 3 सफेद और 9 काली गेंदें हैं। प्रत्येक कलश से एक गेंद ली गई। दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

पहले कलश से एक सफेद गेंद की उपस्थिति होने दें, और दूसरे कलश से एक सफेद गेंद की उपस्थिति होने दें। यह स्पष्ट है कि घटनाएँ स्वतंत्र हैं। हम ढूंढ लेंगे

सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

विषय 3.1 पर स्व-परीक्षण प्रश्न:

1. घटना क्या है?

2. किन घटनाओं को विश्वसनीय कहा जाता है?

3. किन घटनाओं को असंभव कहा जाता है?

4. संभाव्यता को परिभाषित करें।

5. संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय तैयार करें।

6. संभाव्यता गुणन प्रमेय तैयार करें।

विषय 3.1 पर स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

1. एक बॉक्स में यादृच्छिक क्रम में 10 हिस्से हैं, जिनमें से 4 मानक हैं। निरीक्षक ने यादृच्छिक रूप से 3 भाग लिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि लिए गए भागों में से कम से कम एक मानक निकला।

2. एक कलश में 10 सफेद, 15 काली, 20 नीली और 25 लाल गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाली गई गेंद होगी: 1) सफेद; 2) काला या लाल.

3. प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई दो अंकों की संख्या या तो 4 या 5 या दोनों का गुणज होगी।

4. एक कर्मचारी दो मशीनों की सेवा करता है जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं। संभावना है कि पहली मशीन को एक घंटे के भीतर किसी कर्मचारी के ध्यान की आवश्यकता नहीं होगी, 0.8 है, और दूसरी मशीन के लिए यह संभावना 0.7 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक घंटे के भीतर किसी भी मशीन को किसी कर्मचारी के ध्यान की आवश्यकता नहीं होगी।

5. कलश में 6 गेंदें हैं, जिनमें से 3 सफेद हैं। एक के बाद एक, दो गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं। दोनों गेंदों के सफेद होने की प्रायिकता परिकलित करें।

6. एक कलश में 10 सफेद और 6 काली गेंदें हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक के बाद एक यादृच्छिक रूप से निकाली गई तीन गेंदें काली निकलेंगी।

दो घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय. दो घटनाओं के योग की संभावना उनके संयुक्त घटित होने की संभावना के बिना इन घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)-पी(एबी).

दो असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के लिए प्रमेय. दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी).

उदाहरण 2.16.शूटर 3 क्षेत्रों में विभाजित लक्ष्य पर गोली चलाता है। पहले क्षेत्र से टकराने की संभावना 0.45 है, दूसरे से - 0.35। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निशानेबाज एक शॉट से पहले या दूसरे क्षेत्र पर हमला करेगा।

समाधान।

आयोजन ए- "शूटर ने पहले क्षेत्र पर हमला किया" और में- "शूटर ने दूसरे क्षेत्र में हमला किया" - असंगत हैं (एक क्षेत्र में जाने से दूसरे क्षेत्र में जाना शामिल नहीं है), इसलिए अतिरिक्त प्रमेय लागू है।

आवश्यक संभावना है:

पी(ए+बी)=पी(ए)+पी(बी)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

संभाव्यता जोड़ प्रमेय पीअसंगत घटनाएँ. n असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता इनकी प्रायिकताओं के योग के बराबर होती है:

पी(ए 1 +ए 2 +…+ए पी)=पी(ए 1)+पी(ए 2)+…+पी(ए पी).

विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग एक के बराबर होता है:

घटना की संभावना मेंबशर्ते कि घटना घटी हो ए, घटना की सशर्त संभाव्यता कहलाती है मेंऔर इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: पी(वी/ए),या आर ए (बी).

. दो घटनाओं के घटित होने की प्रायिकता उनमें से एक की प्रायिकता और दूसरे की सशर्त प्रायिकता के गुणनफल के बराबर होती है, बशर्ते कि पहली घटना घटित हुई हो:

पी(एबी)=पी(ए)पी ए (बी)।

आयोजन मेंघटना पर निर्भर नहीं करता ए, अगर

आर ए (वी) = आर (वी),

वे। किसी घटना की संभावना मेंयह इस बात पर निर्भर नहीं करता कि घटना घटित हुई या नहीं ए.

दो स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने का प्रमेय।दो स्वतंत्र घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

पी(एबी)=पी(ए)पी(बी).

उदाहरण 2.17.पहली और दूसरी बंदूक से फायर करने पर लक्ष्य पर निशाना साधने की संभावनाएँ क्रमशः बराबर होती हैं: पी 1 = 0,7; पी 2= 0.8. कम से कम एक बंदूक द्वारा एक सैल्वो (दोनों बंदूकों से) के साथ हिट की संभावना का पता लगाएं।

समाधान।

प्रत्येक बंदूक के लक्ष्य से टकराने की संभावना दूसरी बंदूक से फायरिंग के परिणाम पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए घटनाएँ ए- "पहली बंदूक से मारा" और में- "दूसरी बंदूक से मारा गया" स्वतंत्र हैं।

घटना की संभावना अब- "दोनों बंदूकें लगीं":

आवश्यक संभाव्यता

पी(ए+बी) = पी(ए) + पी(बी) – पी(एबी)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

संभाव्यता गुणन प्रमेय पीआयोजन।एन घटनाओं के उत्पाद की संभावना अन्य सभी की सशर्त संभावनाओं द्वारा उनमें से एक के उत्पाद के बराबर है, इस धारणा के तहत गणना की गई है कि सभी पिछली घटनाएं हुईं:

उदाहरण 2.18. कलश में 5 सफेद, 4 काली और 3 नीली गेंदें हैं। प्रत्येक परीक्षण में एक गेंद को वापस रखे बिना यादृच्छिक रूप से निकालना शामिल है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद दिखाई देगी (घटना ए), दूसरे पर - एक काली गेंद (घटना बी) और तीसरे पर - एक नीली गेंद (घटना सी)।

समाधान।

पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद के आने की प्रायिकता:

दूसरे परीक्षण में एक काली गेंद दिखाई देने की संभावना, इस धारणा के तहत गणना की गई कि पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद दिखाई दी, यानी सशर्त संभावना:

तीसरे परीक्षण में एक नीली गेंद दिखाई देने की संभावना, इस धारणा के तहत गणना की गई कि पहले परीक्षण में एक सफेद गेंद दिखाई दी और दूसरे में एक काली गेंद दिखाई दी, यानी सशर्त संभावना:

आवश्यक संभावना है:

संभाव्यता गुणन प्रमेय पीस्वतंत्र घटनाएँ.n स्वतंत्र घटनाओं के उत्पाद की संभावना उनकी संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

पी(ए 1 ए 2…ए पी)=पी(ए 1)पी(ए 2)…पी(ए पी)।

कम से कम एक घटना के घटित होने की संभावना. घटनाओं ए 1, ए 2, ..., ए एन में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना, समग्र रूप से स्वतंत्र, एकता और विपरीत घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बीच के अंतर के बराबर है:

.

उदाहरण 2.19.तीन तोपों से फायरिंग करने पर लक्ष्य पर वार करने की संभावनाएँ इस प्रकार हैं: पी 1 = 0,8; पी 2 = 0,7;पी 3= 0.9. कम से कम एक हिट (घटना) की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ए) सभी बंदूकों से एक सैल्वो के साथ।

समाधान।

प्रत्येक बंदूक के लक्ष्य से टकराने की संभावना अन्य बंदूकों से फायरिंग के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए विचाराधीन घटनाएं ए 1(पहली बंदूक से मारा गया), ए 2(दूसरी बंदूक से मारा) और ए 3(तीसरी बंदूक से मारा गया) कुल मिलाकर स्वतंत्र हैं।

घटनाओं के विपरीत घटनाओं की सम्भावनाएँ ए 1, ए 2और ए 3(अर्थात चूक की संभावना) क्रमशः बराबर हैं:

, , .

आवश्यक संभावना है:

यदि स्वतंत्र घटनाएँ ए 1, ए 2,…, ए पीकी समान सम्भावना है आर, तो इनमें से कम से कम एक घटना के घटित होने की संभावना सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

Р(А)= 1 – q n ,

कहाँ क्यू=1- पी

2.7. कुल संभाव्यता सूत्र. बेयस का सूत्र.

चलो घटना एअसंगत घटनाओं में से किसी एक के घटित होने पर घटित हो सकता है एन 1, एन 2, …, एन पी, घटनाओं का एक पूरा समूह बनाना। चूँकि यह पहले से ज्ञात नहीं होता कि इनमें से कौन सी घटनाएँ घटित होंगी, इसलिए इन्हें कहा जाता है परिकल्पना.

घटना घटित होने की संभावना एद्वारा गणना की गई कुल संभाव्यता सूत्र:

पी(ए)=पी(एन 1)पी(ए/एन 1)+ पी(एन 2)पी(ए/एन 2)+...+ पी(एन पी)पी(ए/एन पी)।

मान लीजिए कि एक प्रयोग किया गया है जिसके परिणामस्वरूप यह घटना घटी एघटित। घटनाओं की सशर्त संभावनाएँ एन 1, एन 2, …, एन पीघटना के संबंध में एनिर्धारित किए गए है बेयस सूत्र:

,

उदाहरण 2.20. परीक्षा देने आए 20 छात्रों के एक समूह में, 6 उत्कृष्ट रूप से तैयार थे, 8 अच्छी तरह से तैयार थे, 4 संतोषजनक थे और 2 खराब तरीके से तैयार थे। परीक्षा पत्रों में 30 प्रश्न होते हैं। एक अच्छी तरह से तैयार छात्र सभी 30 प्रश्नों का उत्तर दे सकता है, एक अच्छी तरह से तैयार छात्र 24 प्रश्नों का उत्तर दे सकता है, एक अच्छी तरह से तैयार छात्र 15 प्रश्नों का उत्तर दे सकता है, और एक खराब तैयारी वाला छात्र 7 प्रश्नों का उत्तर दे सकता है।

यादृच्छिक रूप से बुलाए गए एक छात्र ने यादृच्छिक रूप से दिए गए तीन प्रश्नों के उत्तर दिए। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह छात्र तैयार है: a) उत्कृष्ट; बी) ख़राब.

समाधान।

परिकल्पनाएँ - "छात्र अच्छी तरह से तैयार है";

- "छात्र अच्छी तरह से तैयार है";

- "छात्र संतोषजनक ढंग से तैयार है";

- "छात्र खराब तरीके से तैयार है।"

अनुभव से पहले:

; ; ; ;

7. घटनाओं के संपूर्ण समूह को क्या कहते हैं?

8. किन घटनाओं को समान रूप से संभव कहा जाता है? ऐसी घटनाओं के उदाहरण दीजिए।

9. प्रारंभिक परिणाम किसे कहते हैं?

10. मैं इस आयोजन के लिए किन परिणामों को अनुकूल मानता हूँ?

11. घटनाओं पर कौन से ऑपरेशन किए जा सकते हैं? उन्हें परिभाषित करें. उन्हें कैसे नामित किया गया है? उदाहरण दो।

12. संभाव्यता किसे कहते हैं?

13. किसी विश्वसनीय घटना की प्रायिकता क्या है?

14. किसी असंभव घटना की प्रायिकता क्या है?

15. संभाव्यता की सीमाएँ क्या हैं?

16. किसी समतल पर ज्यामितीय संभाव्यता कैसे निर्धारित की जाती है?

17. अंतरिक्ष में संभाव्यता कैसे निर्धारित की जाती है?

18. एक सीधी रेखा पर प्रायिकता कैसे निर्धारित की जाती है?

19. दो घटनाओं के योग की प्रायिकता क्या है?

20. दो असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता क्या है?

21. n असंगत घटनाओं के योग की प्रायिकता क्या है?

22. किस प्रायिकता को सशर्त कहा जाता है? एक उदाहरण दें।

23. संभाव्यता गुणन प्रमेय बताएं।

24. कम से कम एक घटना के घटित होने की प्रायिकता कैसे ज्ञात करें?

25. किन घटनाओं को परिकल्पना कहा जाता है?

26. कुल संभाव्यता सूत्र और बेयस सूत्र का उपयोग कब किया जाता है?

किसी घटना के पक्ष में सीधे तौर पर मामलों की गिनती करना मुश्किल हो सकता है। इसलिए, किसी घटना की संभावना निर्धारित करने के लिए, इस घटना को कुछ अन्य, सरल घटनाओं के संयोजन के रूप में कल्पना करना फायदेमंद हो सकता है। हालाँकि, इस मामले में, आपको उन नियमों को जानना होगा जो घटनाओं के संयोजन में संभावनाओं को नियंत्रित करते हैं। पैराग्राफ के शीर्षक में उल्लिखित प्रमेय इन्हीं नियमों से संबंधित हैं।

इनमें से पहला इस संभावना की गणना करने से संबंधित है कि कई घटनाओं में से कम से कम एक घटना घटित होगी।

जोड़ प्रमेय.

माना A और B दो असंगत घटनाएँ हैं। तब इन दो घटनाओं में से कम से कम एक के घटित होने की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर है:

सबूत। आइए जोड़ीवार असंगत घटनाओं का एक पूरा समूह बनें। यदि इन प्राथमिक घटनाओं में बिल्कुल A के अनुकूल घटनाएँ हैं और बिल्कुल B के अनुकूल घटनाएँ हैं। चूँकि घटनाएँ A और B असंगत हैं, तो कोई भी घटना इन दोनों घटनाओं का पक्ष नहीं ले सकती। एक घटना (ए या बी), जिसमें इन दो घटनाओं में से कम से कम एक की घटना शामिल है, स्पष्ट रूप से ए और प्रत्येक घटना के पक्ष में दोनों घटनाओं का पक्ष लेती है।

अनुकूल बी. इसलिए, घटना (ए या बी) के अनुकूल घटनाओं की कुल संख्या निम्नलिखित योग के बराबर है:

क्यू.ई.डी.

यह देखना आसान है कि दो घटनाओं के मामले के लिए ऊपर तैयार किया गया जोड़ प्रमेय आसानी से उनमें से किसी भी सीमित संख्या के मामले में स्थानांतरित किया जा सकता है। निश्चित रूप से यदि जोड़ीवार असंगत घटनाएँ हैं, तो

उदाहरण के लिए, तीन घटनाओं के मामले में, कोई लिख सकता है

जोड़ प्रमेय का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह कथन है: यदि घटनाएँ जोड़ीवार असंगत और विशिष्ट रूप से संभव हैं, तो

वास्तव में, घटना या तो या तो निश्चित है और इसकी संभावना, जैसा कि § 1 में दर्शाया गया है, एक के बराबर है। विशेष रूप से, यदि उनका तात्पर्य दो परस्पर विपरीत घटनाओं से है, तो

आइए उदाहरणों के साथ जोड़ प्रमेय को स्पष्ट करें।

उदाहरण 1. किसी लक्ष्य पर गोली चलाते समय, उत्कृष्ट शॉट बनाने की संभावना 0.3 है, और "अच्छा" शॉट बनाने की संभावना 0.4 है। एक शॉट के लिए कम से कम "अच्छा" अंक प्राप्त करने की संभावना क्या है?

समाधान। यदि इवेंट ए का मतलब "उत्कृष्ट" रेटिंग प्राप्त करना है, और इवेंट बी का मतलब "अच्छी" रेटिंग प्राप्त करना है, तो

उदाहरण 2. सफेद, लाल और काली गेंदों वाले एक कलश में, सफेद गेंदें हैं और I लाल गेंदें हैं। ऐसी गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है जो काली नहीं है?

समाधान। यदि घटना A में एक सफेद गेंद दिखाई देती है, और घटना B में एक लाल गेंद दिखाई देती है, तो गेंद की उपस्थिति काली नहीं है

इसका मतलब है सफेद या लाल गेंद का दिखना। चूंकि संभाव्यता की परिभाषा के अनुसार

फिर, योग प्रमेय के अनुसार, एक गैर-काली गेंद के प्रकट होने की संभावना बराबर है;

इस समस्या को इस तरह से हल किया जा सकता है. मान लीजिए कि घटना C एक काली गेंद की शक्ल में है। काली गेंदों की संख्या बराबर है ताकि P (C) एक गैर-काली गेंद की उपस्थिति C की विपरीत घटना हो, इसलिए, योग प्रमेय से उपरोक्त परिणाम के आधार पर, हमारे पास है:

पहले जैसा।

उदाहरण 3. नकद-सामग्री लॉटरी में, 1000 टिकटों की श्रृंखला के लिए 120 नकद और 80 सामग्री जीत हैं। एक लॉटरी टिकट पर कुछ भी जीतने की संभावना क्या है?

समाधान। यदि हम किसी घटना को A से निरूपित करते हैं जिसमें मौद्रिक लाभ होता है और B से भौतिक लाभ होता है, तो संभाव्यता की परिभाषा से यह निम्नानुसार है

हमारे लिए रुचि की घटना को (ए या बी) द्वारा दर्शाया जाता है, इसलिए यह अतिरिक्त प्रमेय का अनुसरण करता है

इस प्रकार, किसी भी जीत की संभावना 0.2 है।

अगले प्रमेय पर आगे बढ़ने से पहले, एक नई महत्वपूर्ण अवधारणा - सशर्त संभाव्यता की अवधारणा से परिचित होना आवश्यक है। इस प्रयोजन के लिए, हम निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करके शुरुआत करेंगे।

मान लीजिए कि एक गोदाम में 400 प्रकाश बल्ब हैं, जो दो अलग-अलग कारखानों में निर्मित हैं, और पहला सभी प्रकाश बल्बों का 75% उत्पादन करता है, और दूसरा - 25%। आइए मान लें कि पहले संयंत्र द्वारा निर्मित प्रकाश बल्बों में से 83% एक निश्चित मानक की शर्तों को पूरा करते हैं, और दूसरे संयंत्र के उत्पादों के लिए यह प्रतिशत 63 है। आइए हम संभावना निर्धारित करें कि एक प्रकाश बल्ब यादृच्छिक रूप से लिया गया है गोदाम मानक की शर्तों को पूरा करेगा।

ध्यान दें कि उपलब्ध मानक प्रकाश बल्बों की कुल संख्या में पहले द्वारा निर्मित प्रकाश बल्ब शामिल हैं

कारखाना, और दूसरे संयंत्र द्वारा निर्मित 63 प्रकाश बल्ब, यानी 312 के बराबर। चूंकि किसी भी प्रकाश बल्ब की पसंद को समान रूप से संभव माना जाना चाहिए, हमारे पास 400 में से 312 अनुकूल मामले हैं, इसलिए

जहां घटना बी यह है कि हमने जो प्रकाश बल्ब चुना है वह मानक है।

इस गणना के दौरान, हमारे द्वारा चुना गया प्रकाश बल्ब किस पौधे के उत्पाद का था, इसके बारे में कोई धारणा नहीं बनाई गई। यदि हम इस प्रकार की कोई धारणा बनाते हैं, तो यह स्पष्ट है कि जिस संभावना में हमारी रुचि है वह बदल सकती है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि यह ज्ञात है कि चयनित प्रकाश बल्ब का निर्माण पहले संयंत्र (घटना ए) में किया गया था, तो संभावना है कि यह मानक है अब 0.78 नहीं, बल्कि 0.83 होगी।

इस प्रकार की संभाव्यता, अर्थात घटना A के घटित होने पर घटना B की संभाव्यता, घटना A के घटित होने पर घटना B की सशर्त संभाव्यता कहलाती है और इसे निरूपित किया जाता है

यदि पिछले उदाहरण में हम इस घटना को ए से निरूपित करते हैं कि चयनित प्रकाश बल्ब का निर्माण पहले संयंत्र में किया गया है, तो हम लिख सकते हैं

अब हम घटनाओं के संयोजन की संभावना की गणना से संबंधित एक महत्वपूर्ण प्रमेय तैयार कर सकते हैं।

गुणन प्रमेय.

घटनाओं ए और बी के संयोजन की संभावना एक घटना की संभावना और दूसरे की सशर्त संभावना के उत्पाद के बराबर है, यह मानते हुए कि पहली घटना हुई:

इस मामले में, घटनाओं ए और बी के संयोजन का मतलब उनमें से प्रत्येक की घटना है, यानी, घटना ए और घटना बी दोनों की घटना।

सबूत। आइए समान रूप से संभव जोड़ीवार असंगत घटनाओं के एक पूरे समूह पर विचार करें, जिनमें से प्रत्येक घटना ए और घटना बी दोनों के लिए अनुकूल या प्रतिकूल हो सकती है।

आइए हम इन सभी घटनाओं को इस प्रकार चार अलग-अलग समूहों में विभाजित करें। पहले समूह में वे घटनाएँ शामिल हैं जो घटना A और घटना B दोनों के पक्ष में हैं; दूसरे और तीसरे समूह में वे घटनाएँ शामिल हैं जो हमारे लिए रुचि की दो घटनाओं में से एक का पक्ष लेती हैं और दूसरे का पक्ष नहीं लेती हैं, उदाहरण के लिए, दूसरे समूह में वे शामिल हैं जो ए का पक्ष लेते हैं लेकिन बी का पक्ष नहीं लेते हैं, और तीसरे समूह में वे शामिल हैं जो बी का पक्ष लें लेकिन ए का पक्ष न लें; अंततः करने के लिए

चौथे समूह में वे घटनाएँ शामिल हैं जो A या B के पक्ष में नहीं हैं।

चूँकि घटनाओं की संख्या मायने नहीं रखती, हम मान सकते हैं कि चार समूहों में यह विभाजन इस तरह दिखता है:

समूह I:

समूह II:

तृतीय समूह:

चतुर्थ समूह:

इस प्रकार, समान रूप से संभव और जोड़ीदार असंगत घटनाओं के बीच, ऐसी घटनाएं हैं जो घटना ए और घटना बी दोनों का पक्ष लेती हैं, ऐसी घटनाएं जो घटना ए का पक्ष लेती हैं, लेकिन घटना ए का पक्ष नहीं लेती हैं, ऐसी घटनाएं जो बी का पक्ष लेती हैं, लेकिन ए का पक्ष नहीं लेती हैं, और अंत में, ऐसी घटनाएँ जो न तो A और न ही B के पक्ष में हैं।

वैसे, आइए ध्यान दें कि जिन चार समूहों पर हमने विचार किया है (और एक से अधिक भी) उनमें से किसी में भी एक भी घटना शामिल नहीं हो सकती है। इस स्थिति में, ऐसे समूह में घटनाओं की संख्या दर्शाने वाली संबंधित संख्या शून्य के बराबर होगी।

समूहों में हमारा विभाजन आपको तुरंत लिखने की अनुमति देता है

घटनाओं के संयोजन के लिए ए और बी को पहले समूह की घटनाओं और केवल उनके द्वारा पसंद किया जाता है। A के पक्ष में होने वाली घटनाओं की कुल संख्या पहले और दूसरे समूह में होने वाली घटनाओं की कुल संख्या के बराबर है, और B के पक्ष में होने वाली घटनाओं की कुल संख्या पहले और तीसरे समूह में होने वाली घटनाओं की कुल संख्या के बराबर है।

आइए अब संभाव्यता की गणना करें, अर्थात घटना बी की संभावना, बशर्ते कि घटना ए घटित हुई हो। अब तीसरे और चौथे समूह में शामिल घटनाएँ गायब हो जाती हैं, क्योंकि उनकी घटना घटना ए की घटना का खंडन करेगी, और संभावित मामलों की संख्या अब के बराबर नहीं है। इनमें से, घटना बी केवल पहले समूह की घटनाओं द्वारा पसंद की जाती है, इसलिए हमें मिलता है:

प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, अब स्पष्ट पहचान लिखना पर्याप्त है:

और तीनों भिन्नों को ऊपर परिकलित संभावनाओं से बदलें। हम प्रमेय में बताई गई समानता पर पहुँचते हैं:

यह स्पष्ट है कि जो पहचान हमने ऊपर लिखी है वह केवल तभी समझ में आती है जब वह हमेशा सत्य हो, जब तक कि ए एक असंभव घटना न हो।

चूँकि घटनाएँ A और B बराबर हैं, तो, उनकी अदला-बदली करके, हमें गुणन प्रमेय का दूसरा रूप मिलता है:

हालाँकि, यह समानता पिछले वाले की तरह ही प्राप्त की जा सकती है, यदि आप ध्यान दें कि पहचान का उपयोग करना

संभाव्यता P(A और B) के लिए दो अभिव्यक्तियों के दाएँ हाथ की तुलना करने पर, हमें एक उपयोगी समानता प्राप्त होती है:

आइए अब गुणन प्रमेय को दर्शाने वाले उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 4. एक निश्चित उद्यम के उत्पादों में, 96% उत्पादों को उपयुक्त माना जाता है (घटना ए)। प्रत्येक सौ उपयुक्त उत्पादों में से 75 उत्पाद प्रथम श्रेणी (घटना बी) के निकले। प्रायिकता निर्धारित करें कि यादृच्छिक रूप से चयनित उत्पाद उपयुक्त होगा और प्रथम श्रेणी का होगा।

समाधान। वांछित संभाव्यता घटनाओं ए और बी के संयोजन की संभावना है। शर्त के अनुसार हमारे पास: है। इसलिए गुणन प्रमेय देता है

उदाहरण 5. एक ही शॉट (घटना ए) से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.2 है। यदि 2% फ़्यूज़ विफल हो जाते हैं (अर्थात, 2% मामलों में शॉट विफल हो जाता है) तो लक्ष्य को भेदने की संभावना क्या है?

समाधान। मान लीजिए कि घटना B यह है कि एक शॉट घटित होगा, और मान लें कि B का अर्थ विपरीत घटना है। फिर शर्त के अनुसार और जोड़ प्रमेय के परिणाम के अनुसार। आगे शर्त के अनुसार.

लक्ष्य को हिट करने का अर्थ है घटनाओं ए और बी का संयोजन (शॉट फायर करेगा और हिट करेगा), इसलिए, गुणन प्रमेय के अनुसार

घटनाओं की स्वतंत्रता की अवधारणा का उपयोग करके गुणन प्रमेय का एक महत्वपूर्ण विशेष मामला प्राप्त किया जा सकता है।

दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से एक की संभावना दूसरे के घटित होने या न होने के परिणामस्वरूप नहीं बदलती है।

स्वतंत्र घटनाओं के उदाहरण हैं पासे को दोबारा फेंकने पर अलग-अलग संख्या में अंकों का घटित होना, या सिक्के को दोबारा फेंकने पर सिक्कों के एक या दूसरे पहलू का घटित होना, क्योंकि यह स्पष्ट है कि दूसरी बार फेंकने पर हथियारों का एक कोट मिलने की संभावना है। इस बात की परवाह किए बिना कि हथियारों का कोट पहले आया था या नहीं, बराबर है।

इसी प्रकार, सफेद और काली गेंदों वाले कलश से दूसरी बार सफेद गेंद निकालने की संभावना, यदि पहली बार निकाली गई गेंद वापस कर दी गई हो, तो यह इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि गेंद पहली बार निकाली गई थी, सफेद या काली। इसलिए, पहले और दूसरे निष्कासन के परिणाम एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। इसके विपरीत, यदि पहले निकाली गई गेंद कलश में वापस नहीं आती है, तो दूसरे निष्कासन का परिणाम पहले पर निर्भर करता है, क्योंकि पहले निष्कासन के बाद कलश में गेंदों की संरचना उसके परिणाम के आधार पर बदल जाती है। यहां हमारे पास आश्रित घटनाओं का एक उदाहरण है।

सशर्त संभावनाओं के लिए अपनाए गए संकेतन का उपयोग करके, हम घटनाओं ए और बी की स्वतंत्रता के लिए शर्त को फॉर्म में लिख सकते हैं

इन समानताओं का उपयोग करके, हम स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणन प्रमेय को निम्न रूप में कम कर सकते हैं।

यदि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो उनके संयोजन की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

वास्तव में, यह गुणन प्रमेय की प्रारंभिक अभिव्यक्ति में डालने के लिए पर्याप्त है, जो घटनाओं की स्वतंत्रता से अनुसरण करता है, और हम आवश्यक समानता प्राप्त करेंगे।

आइए अब कई घटनाओं पर विचार करें: हम उन्हें सामूहिक रूप से स्वतंत्र कहेंगे यदि उनमें से किसी के घटित होने की संभावना इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि विचाराधीन कोई अन्य घटना घटित हुई है या नहीं।

उन घटनाओं के मामले में जो सामूहिक रूप से स्वतंत्र हैं, गुणन प्रमेय को उनमें से किसी भी सीमित संख्या तक बढ़ाया जा सकता है, इसलिए इसे निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:

समुच्चय में स्वतंत्र घटनाओं के संयोजन की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है:

उदाहरण 6. एक कर्मचारी तीन स्वचालित मशीनों की सेवा कर रहा है, यदि मशीन बंद हो जाती है तो खराबी को ठीक करने के लिए प्रत्येक से संपर्क करना होगा। पहली मशीन के एक घंटे के भीतर बंद न होने की प्रायिकता 0.9 है। दूसरी मशीन के लिए समान संभावना 0.8 है और तीसरी के लिए - 0.7 है। प्रायिकता निर्धारित करें कि एक घंटे के भीतर कर्मचारी को उन किसी भी मशीन के पास जाने की आवश्यकता नहीं होगी जिसकी वह सर्विस कर रहा है।

उदाहरण 7. राइफल शॉट से एक विमान को मार गिराने की संभावना यदि एक ही समय में 250 राइफलें दागी जाएं तो दुश्मन के विमान को नष्ट करने की संभावना क्या है?

समाधान। संभावना है कि विमान को एक शॉट के साथ नहीं गिराया जाएगा, यह अतिरिक्त प्रमेय के बराबर है। फिर हम गुणन प्रमेय का उपयोग करके गणना कर सकते हैं, संभावना है कि विमान को 250 शॉट्स के साथ नहीं गिराया जाएगा, संयोजन की संभावना के रूप में आयोजन। इसके बाद, हम फिर से जोड़ प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और विपरीत घटना की संभावना के रूप में विमान को मार गिराए जाने की संभावना का पता लगा सकते हैं।

इससे यह देखा जा सकता है कि, हालाँकि एक राइफल शॉट से किसी विमान को मार गिराने की संभावना नगण्य है, फिर भी, जब 250 राइफलों से फायरिंग की जाती है, तो एक विमान को मार गिराने की संभावना पहले से ही बहुत ध्यान देने योग्य होती है। यदि राइफलों की संख्या बढ़ा दी जाए तो यह काफी बढ़ जाती है। इसलिए, जब 500 राइफलों से शूटिंग की जाती है, तो एक विमान को मार गिराने की संभावना, जैसा कि गणना करना आसान है, 1000 राइफलों से शूटिंग करते समय बराबर होती है - यहां तक ​​​​कि।

ऊपर सिद्ध किया गया गुणन प्रमेय हमें जोड़ प्रमेय को कुछ हद तक विस्तारित करने की अनुमति देता है, इसे संगत घटनाओं के मामले में विस्तारित करता है। यह स्पष्ट है कि यदि घटनाएँ A और B संगत हैं, तो उनमें से कम से कम एक के घटित होने की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि घटना A का अर्थ सम संख्या है

पासा फेंकते समय अंकों की संख्या, और घटना बी अंकों की संख्या का नुकसान है जो तीन का गुणज है, तो घटना (ए या बी) 2, 3, 4 और 6 अंकों के नुकसान से इष्ट है, वह है

दूसरी ओर, वह है। तो इस मामले में

इससे यह स्पष्ट है कि संगत घटनाओं के मामले में संभावनाओं के योग के प्रमेय को बदला जाना चाहिए। जैसा कि हम अब देखेंगे, इसे इस तरह से तैयार किया जा सकता है कि यह संगत और असंगत दोनों घटनाओं के लिए मान्य है, ताकि पहले माना गया जोड़ प्रमेय नए का एक विशेष मामला बन जाए।

वे घटनाएँ जो A के अनुकूल नहीं हैं।

सभी प्रारंभिक घटनाएं जो किसी घटना (ए या बी) का पक्ष लेती हैं, उन्हें या तो केवल ए, या केवल बी, या ए और बी दोनों का समर्थन करना चाहिए। इस प्रकार, ऐसी घटनाओं की कुल संख्या बराबर है

और संभावना

क्यू.ई.डी.

पासा फेंकने पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या के उपरोक्त उदाहरण में सूत्र (9) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जो प्रत्यक्ष गणना के परिणाम से मेल खाता है।

जाहिर है, सूत्र (1) (9) का एक विशेष मामला है। वास्तव में, यदि घटनाएँ A और B असंगत हैं, तो संयोजन की संभावना है

उदाहरण के लिए। विद्युत परिपथ में दो फ़्यूज़ श्रृंखला में जुड़े हुए हैं। पहले फ़्यूज़ की विफलता की संभावना 0.6 है, और दूसरे की 0.2 है। आइए इनमें से कम से कम एक फ़्यूज़ की विफलता के परिणामस्वरूप बिजली विफलता की संभावना निर्धारित करें।

समाधान। चूँकि घटनाएँ ए और बी, जिसमें फ़्यूज़ के पहले और दूसरे की विफलता शामिल है, संगत हैं, आवश्यक संभावना सूत्र (9) द्वारा निर्धारित की जाएगी:

अभ्यास

एक प्रयोग पर विचार किया जा रहा है इ. ऐसा माना जाता है कि इसे बार-बार किया जा सकता है। प्रयोग के परिणामस्वरूप, विभिन्न घटनाएँ सामने आ सकती हैं, जो एक निश्चित सेट बनाती हैं एफ. अवलोकन योग्य घटनाओं को तीन प्रकारों में विभाजित किया गया है: विश्वसनीय, असंभव, यादृच्छिक।

भरोसेमंद वह घटना जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप निश्चित रूप से घटित होती है, कहलाती है इ. Ω द्वारा निरूपित।

असंभव वह घटना जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित न होने के लिए जानी जाती है, कहलाती है इ. द्वारा चिह्नित ।

यादृच्छिक वह घटना जो किसी प्रयोग के परिणामस्वरूप घटित हो भी सकती है और नहीं भी, कहलाती है इ.

अतिरिक्त (विपरीत) आयोजन एएक घटना है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है, जो तब घटित होती है जब और केवल यदि घटना घटित नहीं होती है ए.

योग (संयोजन) घटनाएँ एक ऐसी घटना है जो घटित होती है यदि और केवल यदि इनमें से कम से कम एक घटना घटित होती है (चित्र 3.1)। संकेतन.

चित्र 3.1

उत्पाद (चौराहा) घटनाएँ एक ऐसी घटना है जो तब घटित होती है जब और केवल यदि ये सभी घटनाएँ एक साथ (एक साथ) घटित होती हैं (चित्र 3.2)। संकेतन. यह स्पष्ट है कि घटनाएँ A और B असंगत , अगर ।

चित्र 3.2

घटनाओं का पूरा समूह घटनाओं का एक समूह है जिसका योग एक निश्चित घटना है:

आयोजन मेंबुलाया किसी घटना का विशेष मामला ए, यदि किसी घटना के घटित होने के साथ मेंघटना प्रकट होती है ए. वे यह भी कहते हैं कि घटना मेंएक घटना शामिल है ए(चित्र 3.3)। पद का नाम

चित्र 3.3

आयोजन एऔर मेंकहा जाता है समकक्ष , यदि वे प्रयोग के दौरान एक साथ घटित होते हैं या नहीं घटित होते हैं इ. पद का नाम यह स्पष्ट है कि यदि.

एक कठिन घटना बीजगणितीय परिचालनों का उपयोग करके उसी प्रयोग में देखी गई अन्य घटनाओं के माध्यम से व्यक्त की गई एक देखी गई घटना को कॉल करें।

किसी विशेष जटिल घटना के घटित होने की संभावना की गणना संभावनाओं को जोड़ने और गुणा करने के सूत्रों का उपयोग करके की जाती है।

संभाव्यता जोड़ प्रमेय

नतीजे:

1) यदि घटनाएँ एऔर मेंअसंगत हैं, तो जोड़ प्रमेय इस प्रकार बनता है:

2) तीन पदों के मामले में, जोड़ प्रमेय को प्रपत्र में लिखा जाता है

3) परस्पर विपरीत घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है:

घटनाओं के समुच्चय को,, ..., कहा जाता है घटनाओं का पूरा समूह , अगर

संपूर्ण समूह बनाने वाली घटनाओं की संभावनाओं का योग 1 के बराबर है:

घटना घटित होने की संभावना एबशर्ते कि घटना मेंहुआ, वे इसे कहते हैं सशर्त संभाव्यता और निरूपित करें या।

एऔर में – आश्रित घटनाएँ , अगर ।

एऔर में – स्वतंत्र घटनाएँ , अगर ।

संभाव्यता गुणन प्रमेय

नतीजे:

1) स्वतंत्र आयोजनों के लिए एऔर में

2) सामान्य स्थिति में, तीन घटनाओं के गुणनफल के लिए, संभाव्यता गुणन प्रमेय का रूप होता है:

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण1 - तीन तत्व विद्युत सर्किट से श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम कर रहे हैं। पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की विफलता संभावनाएँ क्रमशः बराबर हैं। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परिपथ में कोई धारा नहीं होगी।

समाधान

पहला तरीका.

आइए निम्नलिखित घटनाओं को निरूपित करें: - सर्किट में क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे तत्व की विफलता हुई।

आयोजन ए- सर्किट में कोई करंट नहीं होगा (कम से कम एक तत्व विफल हो जाएगा, क्योंकि वे श्रृंखला में जुड़े हुए हैं)।

घटना - सर्किट में करंट है (तीन तत्व काम कर रहे हैं), . विपरीत घटनाओं की संभावना सूत्र (3.4) से संबंधित है। एक घटना तीन घटनाओं का उत्पाद है जो जोड़ीवार स्वतंत्र हैं। स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं को गुणा करने के लिए प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

तब वांछित घटना की प्रायिकता है।

दूसरा तरीका.

पहले से स्वीकृत संकेतन को ध्यान में रखते हुए, हम वांछित घटना को लिखते हैं ए- कम से कम एक तत्व विफल हो जाएगा:

चूँकि योग में शामिल पद संगत हैं, इसलिए हमें तीन पदों (3.3) के मामले में संभाव्यता जोड़ प्रमेय को सामान्य रूप में लागू करना चाहिए:

उत्तर: 0,388.

स्वतंत्र रूप से हल करने योग्य समस्याएं

1 वाचनालय में संभाव्यता सिद्धांत पर छह पाठ्यपुस्तकें हैं, जिनमें से तीन जिल्दबंद हैं। लाइब्रेरियन ने यादृच्छिक रूप से दो पाठ्यपुस्तकें लीं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों पाठ्यपुस्तकें बाध्य होंगी।

2 बैग में मिश्रित धागे हैं, जिनमें से 30% सफेद और बाकी लाल हैं। संभावनाएँ निर्धारित करें कि यादृच्छिक रूप से खींचे गए दो धागे होंगे: एक ही रंग; अलग - अलग रंग।

3 डिवाइस में तीन तत्व होते हैं जो स्वतंत्र रूप से काम करते हैं। पहले, दूसरे और तीसरे तत्वों की एक निश्चित अवधि के लिए विफलता-मुक्त संचालन की संभावनाएँ क्रमशः 0.6 हैं; 0.7; 0.8. सम्भावनाएँ ज्ञात कीजिए कि इस दौरान केवल एक तत्व बिना असफलता के कार्य करेगा; केवल दो तत्व; तीनों तत्व; कम से कम दो तत्व.

4 तीन पासे फेंके जाते हैं. निम्नलिखित घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए:

क) खींचे गए प्रत्येक पक्ष पर पांच बिंदु दिखाई देंगे;

बी) सभी गिराए गए पक्षों पर समान संख्या में अंक दिखाई देंगे;

ग) दो गिरी हुई भुजाओं पर एक बिंदु दिखाई देगा, और तीसरी ओर अन्य बिंदुओं की संख्या दिखाई देगी;

घ) सभी गिराए गए चेहरों पर अलग-अलग संख्या में अंक दिखाई देंगे।

5 एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 0.8 है। निशानेबाज को कितनी गोलियाँ चलानी चाहिए ताकि 0.4 से कम की संभावना के साथ यह उम्मीद की जा सके कि कोई चूक न हो?

6 संख्या 1, 2, 3, 4, 5 में से पहले एक को चुना जाता है, और फिर शेष चार में से दूसरा अंक चुना जाता है। यह माना जाता है कि सभी 20 संभावित परिणाम समान रूप से संभावित हैं। एक विषम संख्या चुने जाने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: पहली बार; दूसरी बार; दोनों बार।

7 स्टोर के पुरुषों के जूते अनुभाग में आकार 46 जूतों की एक जोड़ी दोबारा बेचे जाने की संभावना 0.01 है। एक दुकान में कितने जोड़े जूते बेचे जाने चाहिए ताकि कम से कम 0.9 की संभावना के साथ कोई यह उम्मीद कर सके कि आकार 46 जूते की कम से कम एक जोड़ी बेची जाएगी?

8 बॉक्स में दो गैर-मानक सहित 10 भाग हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि छः यादृच्छिक रूप से चयनित भागों में से एक से अधिक गैर-मानक भाग नहीं होंगे।

9 तकनीकी नियंत्रण विभाग मानकता के लिए उत्पादों की जाँच करता है। उत्पाद के गैर-मानक होने की संभावना 0.1 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि:

क) तीन परीक्षण किए गए उत्पादों में से केवल दो गैर-मानक निकलेंगे;

बी) क्रम में परीक्षण किया गया केवल चौथा उत्पाद गैर-मानक निकलेगा।

10 कट-आउट वर्णमाला कार्डों पर रूसी वर्णमाला के 32 अक्षर लिखे गए हैं:

a) तीन कार्ड एक के बाद एक यादृच्छिक रूप से निकाले जाते हैं और दिखने के क्रम में टेबल पर रखे जाते हैं। "संसार" शब्द प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए;

बी) हटाए गए तीन कार्डों को किसी भी तरह से स्वैप किया जा सकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि इनका प्रयोग "विश्व" शब्द बनाने में किया जा सकता है?

11 एक लड़ाकू एक बमवर्षक पर हमला करता है और उस पर दो स्वतंत्र विस्फोट करता है। पहले विस्फोट में एक बमवर्षक को मार गिराने की संभावना 0.2 है, और दूसरे विस्फोट में - 0.3। यदि हमलावर को मार गिराया नहीं जाता है, तो वह अपनी पिछली बंदूकों से लड़ाकू पर गोली चलाता है और 0.25 की संभावना के साथ उसे मार गिराता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि किसी हवाई युद्ध के परिणामस्वरूप किसी बमवर्षक या लड़ाकू विमान को मार गिराया जाएगा।

गृहकार्य

1 कुल संभाव्यता सूत्र. बेयस का सूत्र.

2 समस्याओं का समाधान

काम1 . एक कर्मचारी तीन मशीनें चलाता है जो एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से संचालित होती हैं। संभावना है कि पहली मशीन को एक घंटे के भीतर कार्यकर्ता के ध्यान की आवश्यकता नहीं होगी, 0.9 है, दूसरी - 0.8, और तीसरी - 0.85 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक घंटे के भीतर कम से कम एक मशीन को एक कर्मचारी के ध्यान की आवश्यकता होगी।

काम2 . कंप्यूटर केंद्र, जिसे आने वाली सूचनाओं को लगातार संसाधित करना चाहिए, में दो कंप्यूटिंग डिवाइस हैं। यह ज्ञात है कि उनमें से प्रत्येक की कुछ समय में विफलता की संभावना 0.2 के बराबर है। आपको संभावना निर्धारित करने की आवश्यकता है:

ए) तथ्य यह है कि उपकरणों में से एक विफल हो जाएगा, और दूसरा चालू हो जाएगा;

बी) प्रत्येक डिवाइस का परेशानी मुक्त संचालन।

काम3 . चार शिकारी एक निश्चित क्रम में खेल में गोली चलाने के लिए सहमत हुए: अगला शिकारी तभी गोली चलाता है जब पिछला शिकारी चूक जाता है। पहले शिकारी के लिए हिट की संभावना 0.6 है, दूसरे के लिए - 0.7, तीसरे के लिए - 0.8। गोली चलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए:

घ) चार.

काम4 . यह भाग चार प्रसंस्करण कार्यों से गुजरता है। पहले ऑपरेशन के दौरान दोष प्राप्त होने की संभावना 0.01 है, दूसरे के दौरान - 0.02, तीसरे के दौरान - 0.03, और चौथे के दौरान - 0.04। चार ऑपरेशनों के बाद दोष रहित भाग प्राप्त होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि अलग-अलग ऑपरेशनों में दोष प्राप्त होने की घटनाएँ स्वतंत्र हैं।