गॉस प्रमेय की व्याख्या. निर्वात में स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय। निर्वात में कुछ इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों की गणना के लिए गॉस के प्रमेय का अनुप्रयोग। ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय विभेदक रूप में

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके विद्युत आवेशों की एक प्रणाली की क्षेत्र शक्ति की गणना को जर्मन वैज्ञानिक के. गॉस (1777-1855) द्वारा प्राप्त प्रमेय का उपयोग करके काफी सरल बनाया जा सकता है, जो विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करता है। एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से.

सूत्र (79.3) के अनुसार, त्रिज्या की गोलाकार सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर का प्रवाह आर,एक बिंदु प्रभार को कवर करना क्यू, इसके केंद्र में स्थित है (चित्र 124),

यह परिणाम किसी भी आकार की बंद सतह के लिए मान्य है। वास्तव में, यदि आप एक गोले (चित्र 124) को एक मनमानी बंद सतह से घेरते हैं, तो गोले को भेदने वाली तनाव की प्रत्येक रेखा भी इस सतह से होकर गुजरेगी।

यदि मनमाने आकार की एक बंद सतह एक आवेश को घेरती है (चित्र 125), तो जब कोई चयनित तनाव रेखा सतह के साथ प्रतिच्छेद करती है, तो वह या तो उसमें प्रवेश करती है या बाहर निकलती है। फ्लक्स की गणना करते समय चौराहों की एक विषम संख्या अंततः एक ही चौराहे तक कम हो जाती है, क्योंकि यदि तनाव रेखाएं सतह छोड़ती हैं तो फ्लक्स को सकारात्मक माना जाता है और प्रवेश करने वाली रेखाओं के लिए नकारात्मक माना जाता है।

सतह में. यदि एक बंद सतह किसी आवेश को नहीं घेरती है, तो इसके माध्यम से प्रवाह शून्य है, क्योंकि सतह में प्रवेश करने वाली तनाव रेखाओं की संख्या इसे छोड़ने वाली तनाव रेखाओं की संख्या के बराबर है।

इस प्रकार, किसी भी आकार की सतह के लिए, यदि वह बंद है और उसमें एक बिंदु आवेश है क्यू,वेक्टर प्रवाह इ Q/e 0 के बराबर होगा, अर्थात।

प्रवाह का चिह्न आवेश के चिह्न से मेल खाता है क्यू।आसपास की मनमानी सतह के सामान्य मामले पर विचार करें एनआरोप. सुपरपोजिशन सिद्धांत (80.2) के अनुसार, तनाव इसभी आवेशों द्वारा निर्मित क्षेत्र वोल्टेज के योग के बराबर है इमैंने प्रत्येक चार्ज को अलग से बनाया: ; . इसीलिए

(81.1) के अनुसार, योग चिह्न के अंतर्गत प्रत्येक समाकलन Q i /e 0 के बराबर है। इस तरह,

सूत्र (81.2) प्रमेय को व्यक्त करता है निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गाऊसी:एक मनमाना बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर मौजूद आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे ई 0 से विभाजित किया जाता है। यह प्रमेय रूसी गणितज्ञ एम. वी. ओस्ट्रोग्रैडस्की (1801-1862) द्वारा किसी भी प्रकृति के वेक्टर क्षेत्र के लिए गणितीय रूप से तैयार किया गया था, और फिर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के संबंध में उनसे स्वतंत्र रूप से - के. गॉस द्वारा।

सामान्य तौर पर, विद्युत आवेशों को कुछ के साथ "स्मीयर" किया जा सकता है

थोक घनत्व r=dQ/dV, भिन्न

अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर. फिर एक निश्चित आयतन को कवर करने वाली बंद सतह S के अंदर मौजूद कुल चार्ज वी,

सूत्र (81.3) का प्रयोग करते हुए गॉस प्रमेय (81.2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र एक विशेष प्रकार का पदार्थ है जिसके माध्यम से आवेशित पिंड परस्पर क्रिया करते हैं।

कूलम्ब का नियम:बातचीत की शक्ति एफदो स्थिर बिंदु आवेशों के बीच क्यू 1 और क्यू 2 इन आवेशों के परिमाण के सीधे आनुपातिक और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है आरउन दोनों के बीच:

कहाँ ( इ 0 - विद्युत स्थिरांक);

इ- माध्यम का ढांकता हुआ स्थिरांक, यह दर्शाता है कि किसी दिए गए माध्यम में आवेशों की परस्पर क्रिया का बल निर्वात की तुलना में कितनी गुना कम है।

स्थिर विद्युत आवेशों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र कहलाते हैं इलेक्ट्रोस्टैटिक.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकतकिसी दिए गए बिंदु पर परीक्षण बिंदु सकारात्मक चार्ज पर कार्य करने वाले बल द्वारा निर्धारित एक भौतिक मात्रा होती है क्यू 0 को फ़ील्ड के इस बिंदु पर रखा गया है, अर्थात:

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र को ग्राफ़िक रूप से उपयोग करके दर्शाया जा सकता है बिजली की लाइनों.विद्युत लाइन -यह एक रेखा है जिसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा किसी दिए गए बिंदु पर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाती है (चित्र 1, 2)।

यदि क्षेत्र एक बिंदु आवेश द्वारा निर्मित होता है, तो क्षेत्र रेखाएँ धनात्मक आवेश से निकलने वाली रेडियल सीधी रेखाएँ होती हैं (चित्र 2, ए), और ऋणात्मक आवेश में शामिल है (चित्र 2, बी).

चावल। 1 अंजीर. 2

क्षेत्र रेखाओं की सहायता से, न केवल दिशा को चिह्नित करना संभव है, बल्कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के परिमाण को भी क्षेत्र रेखाओं के घनत्व से संबंधित करना संभव है। क्षेत्र रेखाओं का अधिक घनत्व तनाव के अधिक मान से मेल खाता है (चित्र 1, 2)। मात्रात्मक रूप से, बल की रेखाओं के लंबवत स्थित एक क्षेत्र में प्रवेश करने वाली बल की रेखाओं की संख्या इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत के परिमाण से संबंधित होती है। इस मामले में, एक निश्चित शुल्क क्यू, फ़ील्ड बनाना, एक निश्चित संख्या से मेल खाता है एनआवेश को छोड़ने (के लिए) या आवेश में (के लिए) प्रवेश करने वाली बल की रेखाएँ, अर्थात्: .

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर प्रवाहएक मनमाने मंच के माध्यम से एसकिसी दिए गए क्षेत्र में प्रवेश करने वाली बल रेखाओं की संख्या द्वारा विशेषता एस।

यदि साइट एसबल की रेखाओं के लंबवत (चित्र 3), फिर प्रवाह एफ ईइस क्षेत्र के माध्यम से तनाव वेक्टर एस: .

चावल। 3 अंजीर. 4

,

कहाँ α - तनाव के वैक्टर और साइट के सामान्य के बीच का कोण एस.

प्रवाह को खोजने के लिए एफ ईएक मनमानी सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर एस, इस सतह को प्राथमिक क्षेत्रों में विभाजित करना आवश्यक है डी एस(चित्र 5), प्रारंभिक धारा को परिभाषित करें डीФ ईप्रत्येक मंच के माध्यम से डी एससूत्र के अनुसार:

,

और फिर ये सभी प्रारंभिक धाराएँ डीФ ईजोड़ें, जो एकीकरण की ओर ले जाता है:

,

कहाँ α - किसी दिए गए प्रारंभिक क्षेत्र में तनाव के वैक्टर और सामान्य के बीच का कोण डी एस.

.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेय प्रवाह के परिमाण से संबंधित है एफ ईइलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर निर्वात मेंएक मनमानी बंद सतह के माध्यम से एसशुल्क की राशि के साथ क्यूकिसी दी गई बंद सतह के अंदर संलग्न एस(चित्र 6)।

.

यह अनुपात है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेयइलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए.

चूंकि यदि बल की रेखाएं सतह से बाहर निकलती हैं तो फ्लक्स को सकारात्मक माना जाता है एस, और सतह में शामिल रेखाओं के लिए नकारात्मक एस,फिर यदि एक मनमानी बंद सतह के अंदर एसवहाँ एक नहीं, अनेक हैं ( एन) विपरीत आरोप, फिर ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस प्रमेयइलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए निम्नानुसार तैयार किया गया है:

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह निर्वात मेंएक मनमानी बंद सतह के माध्यम से इस सतह के अंदर निहित आरोपों के बीजगणितीय योग के बराबर है, जिसे ई 0 से विभाजित किया गया है:

.

विषय 2. इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बलों का कार्य। संभावना

यदि किसी बिंदु आवेश द्वारा निर्मित इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में क्यू, एक और परीक्षण चार्ज चलता है क्यू 0 बिंदु से 1 बिल्कुल 2 एक मनमाना प्रक्षेपवक्र के साथ (चित्र 7) , तब इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बलों का कार्य निष्पादित होता है।

प्राथमिक कार्य दाप्रारंभिक विस्थापन पर बल बराबर है: .

चित्र 7 से यह स्पष्ट है कि .

तब ().

काम एचार्ज ले जाते समय क्यूबिंदु से प्रक्षेपवक्र के अनुदिश 0 1 मुद्दे पर 2 :

अर्थात् किसी बिंदु से आवेश को स्थानांतरित करते समय कार्य करना 1 वी

बिंदु 2 एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में गति के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं होता है, बल्कि केवल आरंभ और समाप्ति बिंदुओं की स्थिति से निर्धारित होता है। इसीलिए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रप्वाइंट चार्ज है संभावना.

किसी चार्ज को स्थानांतरित करते समय इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र बलों द्वारा किया गया कार्य क्यू 0 बिंदु से 1 बिल्कुल 2 , इस प्रकार व्यक्त किया गया है:

,

कहाँ φ 1और φ 2 – इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमताबिंदुओं पर 1 और 2 .

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमता एक मनमाना योज्य स्थिरांक तक निर्धारित होती है साथ, अर्थात्, एक बिंदु आवेश के क्षेत्र के लिए क्यू:

.

तब , .

संभावित अंतरदो बिंदु 1 और 2 एक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में परीक्षण बिंदु चार्ज को स्थानांतरित करते समय इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकतों द्वारा किए गए कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है क्यू 0 बिंदु से 1 बिल्कुल 2 :

.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत और क्षमता के बीच संबंध

तनाव और क्षमता φ इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र इस प्रकार परस्पर जुड़े हुए हैं:

= – स्नातक φ

या , कहाँ

- निर्देशांक अक्षों के इकाई सदिश ओह,ओह, आउंस, क्रमश।

उपरोक्त सूत्र में ऋण चिह्न का अर्थ है कि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत का वेक्टर निर्देशित है अधिकतम कमी का पक्षसंभावना जे.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र क्षमता के वितरण को ग्राफिक रूप से चित्रित करने के लिए, हम इसका उपयोग करते हैं समविभव सतहें,अर्थात्, उन सभी बिंदुओं पर सतह, जिनमें क्षमता है जेएक ही अर्थ है.

उदाहरण के लिए, किसी बिंदु आवेश द्वारा निर्मित फ़ील्ड के लिए क्यू, संभावना जेअभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है: , और सुसज्जित सतहें संकेंद्रित गोले हैं (चित्र 8)।

इस चित्र से यह स्पष्ट है कि एक बिंदु आवेश के मामले में, क्षेत्र रेखाएँ (आकृति में धराशायी रेखाएँ) सामान्य(लंबवत) समविभव सतहों पर (आकृति में ठोस रेखाएं)।

यह संपत्ति सामान्यइलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की बल रेखाओं और समविभव सतहों की सापेक्ष स्थिति इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के सभी मामलों के लिए सामान्य है।

इस प्रकार, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की बल रेखाओं के स्थान को जानकर, इस इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की समविभव सतहों का निर्माण करना संभव है और, इसके विपरीत, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की समविभव सतहों के ज्ञात स्थान के आधार पर, इसका निर्माण करना संभव है। स्थिरवैद्युत क्षेत्र की बल रेखाएँ।

एक चुंबकीय क्षेत्र

विषय 3. चुंबकीय क्षेत्र. बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानून

विद्युत धारा एक ऐसा क्षेत्र बनाती है जो चुंबकीय सुई पर कार्य करता है। तीर धारा प्रवाहित करने वाले कंडक्टर के लंबवत समतल में स्थित एक वृत्त की स्पर्श रेखा पर उन्मुख है (चित्र 9)।

चुंबकीय क्षेत्र की मुख्य विशेषता वेक्टर प्रेरण है। यह स्वीकार किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण वेक्टर क्षेत्र में दिए गए बिंदु पर रखी चुंबकीय सुई के उत्तरी ध्रुव की ओर निर्देशित होता है (चित्र 9)।

विद्युत क्षेत्र के अनुरूप, चुंबकीय क्षेत्र को भी ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है बिजली की लाइनों (चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ).

विद्युत लाइन- यह एक रेखा है जिसके प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण वेक्टर के साथ दिशा में मेल खाती है। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र रेखाओं के विपरीत, चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं बंद होती हैं और धारा प्रवाहित करने वाले कंडक्टरों को घेर लेती हैं। बिजली लाइनों की दिशा सही पेंच के नियम (जिम्लेट नियम) द्वारा निर्धारित की जाती है: पेंच का सिर, वर्तमान की दिशा में पेंच, लाइनों की दिशा में घूमता है चित्र। 9

चुंबकीय प्रेरण (चित्र 9)।

कई चुंबकीय क्षेत्र स्रोतों के लिए, चुंबकीय क्षेत्र के सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण सभी व्यक्तिगत चुंबकीय क्षेत्रों के प्रेरण के वेक्टर योग के बराबर है:

धारा प्रवाहित करने वाले कंडक्टर द्वारा निर्मित चुंबकीय क्षेत्र का प्रेरण वेक्टर का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानून.साथ ही इस बात का भी ध्यान रखना जरूरी है बायोट-सावर्ट-लाप्लास कानूनआपको वर्तमान-वाहक कंडक्टर तत्व द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र के केवल प्रेरण वेक्टर की परिमाण और दिशा खोजने की अनुमति देता है। इसलिए, वर्तमान-ले जाने वाले कंडक्टर द्वारा बनाए गए चुंबकीय क्षेत्र प्रेरण वेक्टर को निर्धारित करने के लिए, शुरू में इस कंडक्टर को कंडक्टर तत्वों में विभाजित करना आवश्यक है, प्रत्येक तत्व का उपयोग करने के लिए बायो-सावर्ट-लाप्लास कानूनइंडक्शन वेक्टर ढूंढें, और फिर, चुंबकीय क्षेत्र के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके, सभी पाए गए इंडक्शन वेक्टर को वेक्टर रूप से जोड़ें।

जब कई शुल्क होते हैं, तो फ़ील्ड की गणना करते समय कुछ कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।

गॉस का प्रमेय उन पर काबू पाने में मदद करता है। सार गॉस प्रमेयनिम्नलिखित तक उबलता है: यदि मनमाने ढंग से संख्या में आवेश मानसिक रूप से एक बंद सतह S से घिरे हुए हैं, तो प्राथमिक क्षेत्र dS के माध्यम से विद्युत क्षेत्र की ताकत का प्रवाह dФ = Есоsα۰dS के रूप में लिखा जा सकता है, जहां α सामान्य से सामान्य के बीच का कोण है विमान और शक्ति वेक्टर . (चित्र 12.7)

संपूर्ण सतह के माध्यम से कुल प्रवाह इसके अंदर यादृच्छिक रूप से वितरित सभी आवेशों के प्रवाह के योग के बराबर होगा और इस आवेश के परिमाण के समानुपाती होगा।

(12.9)

आइए हम त्रिज्या r की एक गोलाकार सतह के माध्यम से तीव्रता वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करें, जिसके केंद्र में एक बिंदु आवेश +q स्थित है (चित्र 12.8)। तनाव रेखाएँ गोले की सतह पर लंबवत हैं, α = 0, इसलिए cosα = 1. फिर

यदि क्षेत्र आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनता है, तो

गॉस का प्रमेय: किसी भी बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह इस सतह के अंदर मौजूद आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे विद्युत स्थिरांक से विभाजित किया जाता है।

(12.10)

यदि गोले के अंदर कोई आवेश नहीं है, तो Ф = 0.

गॉस का प्रमेय सममित रूप से वितरित आवेशों के लिए विद्युत क्षेत्रों की गणना करना अपेक्षाकृत सरल बनाता है।

आइए हम वितरित आवेशों के घनत्व की अवधारणा का परिचय दें।

रैखिक घनत्व को τ दर्शाया जाता है और यह प्रति इकाई लंबाई ℓ आवेश q को दर्शाता है। सामान्य तौर पर, इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

(12.11)

आवेशों के एक समान वितरण के साथ, रैखिक घनत्व बराबर होता है

सतह घनत्व को σ द्वारा दर्शाया जाता है और प्रति इकाई क्षेत्र S पर आवेश q की विशेषता होती है। सामान्य तौर पर, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.12)

सतह पर आवेशों के एक समान वितरण के साथ, सतह का घनत्व बराबर होता है

आयतन घनत्व को ρ द्वारा दर्शाया जाता है और प्रति इकाई आयतन V में आवेश q की विशेषता होती है। सामान्य तौर पर, यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

(12.13)

आवेशों के समान वितरण के साथ, यह बराबर है
.

चूँकि आवेश q गोले पर समान रूप से वितरित होता है

σ = स्थिरांक. आइए गॉस प्रमेय लागू करें। आइए हम बिंदु A से होकर त्रिज्या का एक गोला बनाएं। चित्र 12.9 में त्रिज्या की एक गोलाकार सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर का प्रवाह cosα = 1 के बराबर है, क्योंकि α = 0. गॉस के प्रमेय के अनुसार,
.

या

(12.14)

अभिव्यक्ति (12.14) से यह पता चलता है कि आवेशित गोले के बाहर क्षेत्र की ताकत गोले के केंद्र में रखे गए बिंदु आवेश की क्षेत्र की ताकत के समान है। गोले की सतह पर, यानी आर 1 = आर 0, तनाव
.

गोले के अंदर r 1< r 0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r 2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.

त्रिज्या r 0 का एक सिलेंडर सतह घनत्व σ के साथ समान रूप से चार्ज किया जाता है (चित्र 12.10)। आइए मनमाने ढंग से चुने गए बिंदु ए पर क्षेत्र की ताकत निर्धारित करें। आइए बिंदु ए के माध्यम से त्रिज्या आर और लंबाई ℓ की एक काल्पनिक बेलनाकार सतह बनाएं। समरूपता के कारण, प्रवाह केवल सिलेंडर की पार्श्व सतहों के माध्यम से बाहर निकलेगा, क्योंकि त्रिज्या r 0 के सिलेंडर पर आवेश इसकी सतह पर समान रूप से वितरित होते हैं, अर्थात। तनाव की रेखाएं रेडियल सीधी रेखाएं होंगी, जो दोनों सिलेंडरों की पार्श्व सतहों के लंबवत होंगी। चूंकि सिलेंडर के आधार के माध्यम से प्रवाह शून्य है (cos α = 0), और सिलेंडर की पार्श्व सतह बल की रेखाओं के लंबवत है (cos α = 1), तो

या

(12.15)

आइए हम E का मान σ - सतह घनत्व के माध्यम से व्यक्त करें। ए-प्राथमिकता,

इस तरह,

आइए q के मान को सूत्र (12.15) में प्रतिस्थापित करें

(12.16)

रैखिक घनत्व की परिभाषा के अनुसार,
, कहाँ
; हम इस अभिव्यक्ति को सूत्र (12.16) में प्रतिस्थापित करते हैं:

(12.17)

वे। एक अनंत लंबे आवेशित सिलेंडर द्वारा बनाई गई क्षेत्र शक्ति रैखिक आवेश घनत्व के समानुपाती और दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

एक अनंत समान रूप से आवेशित विमान द्वारा निर्मित क्षेत्र शक्ति

आइए हम बिंदु A पर एक अनंत समान रूप से आवेशित विमान द्वारा निर्मित क्षेत्र की ताकत का निर्धारण करें। मान लीजिए कि विमान की सतह का आवेश घनत्व σ के बराबर है। एक बंद सतह के रूप में, एक सिलेंडर चुनना सुविधाजनक होता है जिसकी धुरी विमान के लंबवत होती है, और जिसके दाहिने आधार में बिंदु ए होता है। विमान सिलेंडर को आधे में विभाजित करता है। जाहिर है, बल की रेखाएं समतल के लंबवत और सिलेंडर की पार्श्व सतह के समानांतर होती हैं, इसलिए संपूर्ण प्रवाह केवल सिलेंडर के आधार से होकर गुजरता है। दोनों आधारों पर क्षेत्र शक्ति समान है, क्योंकि बिंदु A और B समतल के सापेक्ष सममित हैं। तब सिलेंडर के आधार से प्रवाह बराबर होता है

गॉस के प्रमेय के अनुसार,

क्योंकि
, वह
, कहाँ

(12.18)

इस प्रकार, एक अनंत आवेशित विमान की क्षेत्र शक्ति सतह आवेश घनत्व के समानुपाती होती है और यह विमान की दूरी पर निर्भर नहीं करती है। अत: समतल का क्षेत्र एकसमान है।

दो विपरीत रूप से समान रूप से चार्ज किए गए समानांतर विमानों द्वारा बनाई गई फ़ील्ड ताकत

दो विमानों द्वारा निर्मित परिणामी क्षेत्र क्षेत्र सुपरपोजिशन के सिद्धांत द्वारा निर्धारित किया जाता है:
(चित्र 12.12)। प्रत्येक तल द्वारा निर्मित क्षेत्र एक समान है, इन क्षेत्रों की ताकत परिमाण में समान है, लेकिन दिशा में विपरीत है:
. सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुसार, विमान के बाहर कुल क्षेत्र की ताकत शून्य है:

विमानों के बीच, क्षेत्र की ताकत की दिशाएं समान होती हैं, इसलिए परिणामी ताकत बराबर होती है

इस प्रकार, दो अलग-अलग आवेशित विमानों के बीच का क्षेत्र एक समान होता है और इसकी तीव्रता एक विमान द्वारा बनाई गई क्षेत्र की तीव्रता से दोगुनी मजबूत होती है। विमानों के बाएँ और दाएँ कोई फ़ील्ड नहीं है। परिमित तलों के क्षेत्र का रूप एक जैसा होता है; विकृति केवल उनकी सीमाओं के निकट ही प्रकट होती है। परिणामी सूत्र का उपयोग करके, आप एक फ्लैट संधारित्र की प्लेटों के बीच क्षेत्र की गणना कर सकते हैं।

निर्वात में आवेशों की दी गई प्रणाली के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के संपूर्ण विवरण के लिए, प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि किए गए कूलम्ब नियम और सुपरपोजिशन का सिद्धांत पर्याप्त है। लेकिन साथ ही, किसी बिंदु आवेश के कूलम्ब क्षेत्र के संबंध में बयानों पर भरोसा किए बिना, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के गुणों को एक अलग सामान्यीकृत रूप में चित्रित करना संभव है।

आइए हम एक नई भौतिक मात्रा को परिभाषित करें जो विद्युत क्षेत्र का वर्णन करती है - विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर का प्रवाह Φ। आइए मान लें कि किसी दिए गए विद्युत क्षेत्र वाले स्थान में एक निश्चित रूप से छोटा क्षेत्र Δ S है।

परिभाषा 1

तनाव वेक्टर का प्राथमिक प्रवाह (क्षेत्र एस के माध्यम से)एक भौतिक मात्रा है जो वेक्टर E → के मापांक, क्षेत्र Δ S और वेक्टर तथा साइट के अभिलंब के बीच के कोण α की कोज्या के गुणनफल के बराबर होती है:

Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.

इस सूत्र में, E n क्षेत्र E → के सामान्य घटक का मापांक है।

चित्र 1 । 3. 1 . प्रारंभिक प्रवाह का चित्रण ΔΦ.

उदाहरण 1

आइए अब हम कुछ मनमानी बंद सतह पर विचार करें एस. आइए दी गई सतह को छोटे क्षेत्रों में विभाजित करें Δ S i , इन छोटे क्षेत्रों के माध्यम से क्षेत्र के प्राथमिक प्रवाह Δ Φ i की गणना करें, और फिर उनका योग ज्ञात करें, जो अंततः हमें बंद सतह के माध्यम से वेक्टर का प्रवाह Φ देगा एस(चित्र 1.3.2):

Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i

जब किसी बंद सतह के बारे में बात की जाती है, तो हमेशा बाहरी सामान्य का उपयोग किया जाता है।

चित्र 1 । 3. 2. एक मनमानी बंद सतह एस के माध्यम से प्रवाह एफ की गणना।

निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय या कानून बुनियादी इलेक्ट्रोडायनामिक कानूनों में से एक है।

प्रमेय 1

एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र शक्ति वेक्टर ई → का प्रवाह इस सतह के अंदर स्थित आवेशों के बीजगणितीय योग के बराबर होता है, जिसे विद्युत स्थिरांक ε 0 से विभाजित किया जाता है।

गॉस समीकरण का रूप है:

Φ = 1 ε 0 ∑ q in n u t r

प्रमाण 1

आइए हम इस सिद्धांत को सिद्ध करें: इसके लिए हम गोलाकार सतह (या गेंद की सतह) एस की जांच करते हैं। किसी दी गई सतह के केंद्र पर एक बिंदु आवेश q होता है। गोले के किसी भी बिंदु पर एक विद्युत क्षेत्र गोले की सतह के लंबवत होता है और परिमाण में बराबर होता है:

ई = ई एन = 1 4 π ε 0 · क्यू आर 2,

जहाँ R गोले की त्रिज्या है।

गेंद की सतह के माध्यम से प्रवाह Φ को उत्पाद के रूप में लिखा जाएगा इऔर गोले का क्षेत्रफल 4 π R 2 है। तब: Φ = 1 ε 0 q .

हमारा अगला कदम बिंदु आवेश को बंद प्रकार की एक मनमानी सतह S से घेरना होगा; आइए हम सहायक गोले R0 को भी परिभाषित करें (चित्र 1, 3, 3)।

चित्र 1 । 3. 3. आवेश के चारों ओर एक मनमानी सतह S के माध्यम से एक बिंदु आवेश के विद्युत क्षेत्र का प्रवाह।

आइए हम एक छोटे ठोस कोण वाले शंकु पर विचार करें Δ Ω शीर्ष पर. विचाराधीन शंकु गोले पर और सतह पर एक छोटे क्षेत्र Δ S 0 को परिभाषित करेगा एस– क्षेत्र Δ एस . इन क्षेत्रों के माध्यम से प्राथमिक प्रवाह Δ Φ 0 और Δ Φ समान हैं। वास्तव में:

Δ Φ 0 = ई 0 Δ एस 0, Δ Φ = ई Δ एस क्योंकि α = ई Δ एस ",

जहां अभिव्यक्ति Δ S " = Δ S cos α उस क्षेत्र को निर्धारित करता है, जिसे त्रिज्या के एक गोले की सतह पर एक ठोस कोण Δ Ω के साथ एक शंकु द्वारा परिभाषित किया गया है एन.

चूँकि ∆ S 0 ∆ S " = R 0 2 r 2 , तो ∆ Φ 0 = ∆ Φ । इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आवेश को ढकने वाली एक मनमानी सतह के माध्यम से एक बिंदु आवेश के विद्युत क्षेत्र का कुल प्रवाह प्रवाह के बराबर होता है सहायक गोले की सतह के माध्यम से Φ 0:

Φ = Φ 0 = क्यू ε 0 .

हम इसे बंद सतह पर भी प्रदर्शित कर सकते हैं एसएक बिंदु प्रभार को कवर नहीं करता क्यू, फ्लक्स Φ शून्य है। यह मामला चित्र में दिखाया गया है। 1 . 3. 2. एक बिंदु आवेश की सभी विद्युत क्षेत्र रेखाएँ एक बंद सतह में प्रवेश करती हैं एसके माध्यम से। सतह के अंदर एसकोई शुल्क नहीं है, अर्थात इस क्षेत्र में फ़ील्ड लाइनों का कोई टूटना या निर्माण नहीं होता है।

मनमाना चार्ज वितरण के मामले में गॉस के प्रमेय का सामान्यीकरण सुपरपोजिशन सिद्धांत का परिणाम है। किसी भी आवेश वितरण के क्षेत्र को बिंदु आवेशों के विद्युत क्षेत्रों के सदिश योग के रूप में लिखा जा सकता है। एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से आवेशों की प्रणाली का प्रवाह Φ एसइसमें व्यक्तिगत आवेशों के विद्युत क्षेत्रों के प्रवाह Φ i शामिल होंगे। जब चार्ज क्यूईसतह के अंदर स्थित है एस, यह q i ε 0 के बराबर प्रवाह में योगदान देता है। यदि आवेश सतह के बाहर स्थित है, तो प्रवाह में इसका योगदान शून्य है।

तो, हमने गॉस प्रमेय को सिद्ध कर लिया है।

नोट 1

गॉस का प्रमेय, वास्तव में, कूलम्ब के नियम और सुपरपोजिशन के सिद्धांत का परिणाम है। हालाँकि, प्रमेय के कथनों को प्रारंभिक स्वयंसिद्ध के रूप में लेने पर, परिणाम कूलम्ब का नियम होगा, जिसके संबंध में गॉस के प्रमेय को कभी-कभी कहा जाता है कूलम्ब के नियम का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण.

गॉस के प्रमेय के आधार पर, कुछ मामलों में किसी आवेशित पिंड के चारों ओर विद्युत क्षेत्र की ताकत निर्धारित करना आसान होता है (किसी दिए गए चार्ज वितरण की पहले से अनुमानित समरूपता और क्षेत्र की सामान्य संरचना की उपस्थिति में)।

एक उदाहरण के रूप में, हम एक समस्या पर विचार कर सकते हैं जिसमें त्रिज्या के साथ एक पतली दीवार वाले खोखले समान रूप से चार्ज किए गए लंबे सिलेंडर के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है आर. ऐसी समस्या में अक्षीय समरूपता होती है, और समरूपता कारणों से विद्युत क्षेत्र की रेडियल दिशा होनी चाहिए। इस प्रकार, गॉस के प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए, बंद प्रकार की सतह का चयन करना इष्टतम है एसकुछ त्रिज्या r और लंबाई के समाक्षीय सिलेंडर के रूप में एल, दोनों सिरों पर बंद (चित्र 1, 3, 4)।

चित्र 1 । 3. 4 . एक समान रूप से चार्ज किए गए सिलेंडर के क्षेत्र का चित्रण। ओ ओ "- समरूपता की धुरी।

यदि r ≥ R , तब तनाव वेक्टर का पूरा प्रवाह सिलेंडर की पार्श्व सतह से होकर गुजरेगा, क्योंकि दोनों आधारों के माध्यम से प्रवाह शून्य है। एक बेलन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा: 2 π r l . आइए गॉस का नियम लागू करें और प्राप्त करें:

Φ = ई 2 π आर एल = τ एल ε 0 .

उपरोक्त अभिव्यक्ति में, τ सिलेंडर की लंबाई पर आवेश है। आगे आप लिख सकते हैं:

ई = τ 2 π ε 0 आर .

यह अभिव्यक्ति त्रिज्या पर निर्भर नहीं करती आरआवेशित सिलेंडर, जिसका अर्थ है कि यह एक लंबे समान रूप से आवेशित धागे के क्षेत्र पर भी लागू होता है।

चार्ज किए गए सिलेंडर के अंदर क्षेत्र की ताकत का पता लगाने के लिए, केस आर के लिए एक बंद सतह बनाना आवश्यक है< R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

उसी तरह, गॉस का प्रमेय और सूत्र अन्य मामलों में विद्युत क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए लागू होता है जब आवेशों का वितरण किसी प्रकार की समरूपता द्वारा चित्रित होता है, उदाहरण के लिए, केंद्र, विमान या अक्ष के बारे में समरूपता। इन सभी मामलों में, उपयुक्त आकार की बंद गाऊसी सतह का चयन करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

उदाहरण के लिए, केंद्रीय समरूपता के मामले में, एक गोले के रूप में एक सतह चुनना इष्टतम है, जिसका केंद्र समरूपता बिंदु पर स्थित है। जब हमारे पास एक अक्ष के बारे में समरूपता होती है, तो एक उपयुक्त प्रकार की बंद सतह एक समाक्षीय सिलेंडर होगी, जो दोनों सिरों पर बंद होती है (ऊपर चर्चा किए गए उदाहरण के समान)।

समरूपता के अभाव और क्षेत्र की सामान्य संरचना का अनुमान लगाने की असंभवता के कारण, क्षेत्र की ताकत निर्धारित करने की समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए गॉस प्रमेय को लागू नहीं किया जा सकता है।

उदाहरण 4

आइए समरूपता की उपस्थिति में चार्ज वितरण का एक और उदाहरण देखें: एक समान रूप से चार्ज किए गए विमान के क्षेत्र का पता लगाना (चित्र 1, 3, 5)।

चित्र 1 । 3. 5 . एक समान रूप से आवेशित विमान का क्षेत्र। σ - सतह चार्ज घनत्व। S एक बंद गाऊसी सतह है।

यहाँ एक गॉसियन सतह है एसइष्टतम रूप से इसे एक निश्चित लंबाई के सिलेंडर के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दोनों सिरों पर बंद है। सिलेंडर की धुरी आवेशित तल के लंबवत है; बदले में, सिलेंडर के सिरे उससे समान दूरी पर होते हैं। समरूपता के अनुसार, एक समान रूप से आवेशित विमान के क्षेत्र की हर जगह एक सामान्य दिशा होनी चाहिए। आइए गॉस प्रमेय लागू करें और प्राप्त करें:

2 ई ∆ एस = σ ∆ एस ε 0 या ई = σ 2 ε 0.

यहां σ सतह आवेश घनत्व या प्रति इकाई क्षेत्र आवेश है।

समान रूप से आवेशित विमान के विद्युत क्षेत्र के लिए हमने जो अभिव्यक्ति प्राप्त की है, उसका उपयोग परिमित आकार के फ्लैट आवेशित क्षेत्रों के लिए भी किया जा सकता है: यहां उस बिंदु से दूरी जिस पर हम आवेशित क्षेत्र के लिए क्षेत्र की ताकत निर्धारित करते हैं, आकार से काफी कम होनी चाहिए क्षेत्र का.

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कई मामलों में, गॉस का प्रमेय बोझिल इंटीग्रल की गणना का सहारा लिए बिना विस्तारित आवेशित निकायों की विद्युत क्षेत्र की ताकत का पता लगाना संभव बनाता है। यह आमतौर पर उन पिंडों पर लागू होता है जिनके ज्यामितीय आकार में समरूपता के कुछ तत्व होते हैं (गेंद, सिलेंडर, विमान)। आइए विद्युत क्षेत्रों की ताकत की गणना करने के लिए गॉस प्रमेय का उपयोग करने के कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. एक समान रूप से आवेशित विमान का क्षेत्र।

एक असीम रूप से विस्तारित समान रूप से आवेशित विमान द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र एक समान होता है - विमान के बाहर अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर इसकी तीव्रता हर जगह समान होती है। यह क्षेत्र दोनों दिशाओं में समतल के लंबवत निर्देशित है (चित्र 2.5)। इसलिए, समतल ΔS के एक तत्व पर टिकी एक मनमाने ढंग से चुनी गई बेलनाकार सतह के माध्यम से क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह के लिए, हम लिख सकते हैं: , कहां से , सतह आवेश घनत्व कहाँ है। एसआई में आयाम: .

इस प्रकार, वांछित विद्युत क्षेत्र की ताकत समान रूप से चार्ज किया गया विमान .

उदाहरण 2. एकसमान रूप से आवेशित धागे (सिलेंडर) का क्षेत्र।

इस मामले में, विद्युत क्षेत्र में अक्षीय समरूपता होती है - यह अज़ीमुथल कोण φ और समन्वय z पर निर्भर नहीं करता है और त्रिज्या वेक्टर (छवि 2.6) के साथ निर्देशित होता है। इसलिए, आवेशित धागे से मेल खाने वाली धुरी के साथ चयनित बेलनाकार सतह के माध्यम से वेक्टर प्रवाह के लिए, हमारे पास है: , बेलनाकार सतह का एक तत्व कहां है; एल- धागे के एक मनमाने खंड की लंबाई।

दूसरी ओर, गॉस के प्रमेय के अनुसार, यह प्रवाह इसके बराबर है: जहां, धागे का रैखिक आवेश घनत्व है। यहां से हम पाते हैं: .

आवश्यक विद्युत क्षेत्र शक्ति समान रूप से चार्ज किया गया धागा : .

उदाहरण 3. एक समान रूप से आवेशित गोले का क्षेत्र।

ए) धातु की गेंद. संतुलन में, आवेश आवेशित गेंद की बाहरी सतह पर समान रूप से वितरित होते हैं (चित्र 2.7)। इसलिए, जब< (внутри шара) электрическое поле отсутствует: .

गेंद के बाहर (>), इसकी सतह पर समान रूप से वितरित आवेशों द्वारा निर्मित विद्युत क्षेत्र में गोलाकार समरूपता (रेडियल रेखाओं के साथ निर्देशित) होती है, इसलिए, गॉस के प्रमेय के अनुसार:

.

हम देखते हैं कि एक समान रूप से आवेशित धातु की गेंद का विद्युत क्षेत्र गेंद की त्रिज्या पर निर्भर नहीं करता है और क्षेत्र के साथ मेल खाता है बिंदु प्रभार .

बी) ढांकता हुआ गेंद .

एसआई में वॉल्यूमेट्रिक चार्ज घनत्व का आयाम: .

गेंद का कुल आवेश स्पष्टतः है: .

गॉस प्रमेय से हमारे पास है:

1) गेंद के अंदर(आर< R) : , जहां Δq = गेंद के आंतरिक क्षेत्र का आवेश है, जो त्रिज्या की चयनित गोलाकार सतह द्वारा सीमित है आर. यहाँ से हम पाते हैं: .

2) गेंद के बाहर (आर > आर): , कहाँ से = ,

वह है बाहरआवेशित ढांकता हुआ गेंद विद्युत क्षेत्र जो उसी , जैसा कि मामला है धातु गेंद।

चित्र 2.9 निर्भरता की गुणात्मक प्रगति को दर्शाता है ई(आर)धातु और ढांकता हुआ गेंदों के लिए.

धातु चित्र.2.9. लत ई(आर).ढांकता हुआ

1.4 गॉस प्रमेय. विद्युत प्रेरण वेक्टर.

गॉस का प्रमेय.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्रों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके विद्युत आवेशों की एक प्रणाली की क्षेत्र शक्ति की गणना को गॉस के प्रमेय का उपयोग करके काफी सरल बनाया जा सकता है, जो विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर के प्रवाह को निर्धारित करता है एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से.

त्रिज्या की गोलाकार सतह के माध्यम से तनाव वेक्टर के प्रवाह पर विचार करें आर, एक बिंदु प्रभार को कवर करते हुए क्यू, इसके केंद्र में स्थित है

यह परिणाम सत्य है मनमाने आकार की किसी भी बंद सतह के लिए, आरोप को कवर करना।

यदि बंद सतह चार्ज को कवर नहीं करती है, तो इसके माध्यम से प्रवाह शून्य हैचूँकि सतह में प्रवेश करने वाली तनाव रेखाओं की संख्या उसे छोड़ने वाली तनाव रेखाओं की संख्या के बराबर होती है।

चलो गौर करते हैं सामान्य मामला मनमाना चारों ओर की सतहएन प्रभारसुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, सभी आवेशों द्वारा बनाई गई क्षेत्र शक्ति प्रत्येक आवेश द्वारा अलग-अलग बनाई गई तीव्रता के योग के बराबर होती है। इसीलिए

निर्वात में स्थिरवैद्युत क्षेत्र के लिए गॉस का प्रमेय:एक मनमानी बंद सतह के माध्यम से निर्वात में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत का फ्लक्स वेक्टर बराबर है बीजगणितीयइस सतह के अंदर मौजूद आवेशों के योग को ε से विभाजित किया जाता है 0 .

सामान्य तौर पर, विद्युत आवेशों को एक निश्चित आयतन घनत्व के साथ अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अलग-अलग वितरित किया जा सकता है। तब बंद सतह S द्वारा कवर किये गये आयतन V का कुल आवेश बराबर होता है और गॉस के प्रमेय को फॉर्म में लिखा जाना चाहिए .